در فیزیک، نظم توپولوژیک یک نوع نظم در فاز دمای صفر ماده است ( که به عنوان ماده کوانتومی نیز شناخته می شود). از دید ماکروسکوپی، نظم توپولوژیک بوسیله‌ی تبهگنی حالت پایه مقاوم و فاز های هندسی غیر آبلی کوانتیزه حالت های پایه تبهگن تعریف/توصیف می شود (دقیقا مانند نظم ابر شاره که بوسیله محو ویسکوزیته و ورتیسیتی کوانتیزه تعریف/توصیف میشود).

از دید میکروسکوپی، نظم توپولوژیکی به الگوهای درهم‌تنیده کوانتومی بلند برد اشاره دارد (دقیقا مانند نظم ابرشاره که به چگالش بوزونی اشاره دارد). حالت های با نظم های توپولوژیکی متفاوت (یا الگوهای درهم‌تنیده بلند برد متفاوت) نمی توانند بدون یک گذار فاز به یکدیگر تبدیل شوند.

حالت های منظم توپولوژیکی خواص علمی جالبی از خود نشان می دهند، مانند تبهگنی حالت پایه که با اعمال هیچ اختلال موضعی از بین نمی رود اما به توپولوژی فضا بستگی دارد، آمار کسری شبه ذره ای و بار های کسری، حالت های مرزی رسانای کامل حتی در حضور ناخالصی مغناطیسی، آنتروپی درهم‌تنیدگی توپولوژیک، و … . نظم توپولوژیک در مطالعه سیستم های فیزیکی زیادی از جمله مایع اسپینی و اثر هال کوانتومی مهم است و کاربردهای بالقوه ای در مقاومت در برابر خطا در محاسبات کوانتومی دارد.

در نظر داشته باشید که عایق های توپولوژیک و ابررساناهای توپولوژیک (بالای یک بعد) داری نظم توپولوژیکی که در بالا بحث شد نیستند (بحث زیر را نگاه کنید).

 پیش زمینه

اگرچه تمام مواد از اتم ها ساخته شده اند، اما خواص مختلفی دارند و به شکل های متفاوت شکل میگیرند، مانند جامد، مایع، ابرشاره، مگنت، و … . این انواع مختلف از مواد اغلب حالت های ماده یا فاز ها نامیده می شوند. با توجه به فیزیک ماده چگال و اصل پیدایش، خواص متفاوت ماده ناشی از راه های متفاوت کنار هم قرار گرفته شدن اتم ها در مواد است. سازمان یافتگی متفاوت اتم ها (یا ذرات دیگر) نظم در مواد نامیده می شود.

اتم ها می توانند از راه های زیادی سازمان یابند که منجر به نظم های مختلف زیادی و نتیجتاً انواع مواد مختلف می شود. نظریه شکست تقارن لاندائو یک درک عمومی از این نظم های مختلف فراهم می کند. باید در نظر گرفت که نظم های مختلف در واقع اشاره به تقارن های متفاوت در آرایش اتم های تشکیل دهنده دارد. اگر یک ماده از یک نظم به یک نظم دیگر تغییر پیدا کند (یعنی ماده یک گذار فاز انجام دهد)، چیزی که اتفاق میفتد این است که تقارن آرایش اتم های تغییر پیدا می کند.

برای مثال، اتم ها دارای یک توزیع تصادفی در یک مایع هستند، بنابراین اگر آن را در یک فاصله اختیاری جابه جا کنیم به همان شکل باقی می ماند. ما می گویم مایع دارای تقارن انتقالی پیوسته است. بعد از یک گذار فاز، یک مایع می تواند به یک بلور تبدیل شود در یک بلور، اتم ها در یک آرایه منظم (یک شبکه) سازمان می یابند. یک شبکه فقط در صورتی بدون تغییر می ماند که ما در فواصل خاص جابه‌جا کنیم (به دفعات صحیح از ثابت شبکه) بنابراین یک بلور تنها تقارن انتقالی گسسته دارد. گذار فاز بین یک جامد و یک بلور یک گذار است که تقارن انتقالی پیوسته مایع را به تقارن گسسته بلور کاهش می دهد. این تغییر در تقارن شکست تقارن نامیده می شود. ماهیت تفاوت بین جامدات و مایعات این است که آرایش اتم ها تقارن های متفاوتی در دو فاز دارد.

نظریه شکست تقارن لاندائو یک نظریه کاملا موفق است. برای مدت زمان طولانی، فیزیکدانان باور داشتند که نظریه شکست تقارن لاندائو تمام تظم های موجود در مواد و تمام گذار فاز های (پیوسته) ممکن را توصیف می کند.

کشف و مشخصه یابی

با این حال از اواخر سال 1980، به تدریج آشکار شد که نظریه شکست تقارن لاندائو ممکن است تمام نظم های ممکن را توصیف نکند. در یک تلاش برای توضیح ابررسانایی دما بالا حالت های اسپینی کایرال معرفی شدند. در ابتدا، فیزیک دانان هنوز می خواستند که از نظریه شکست تقارن لاندائو برای توصیف حالت اسپینی کایرال استفاده کنند. آنها حالت اسپینی کایرال را به عنوان حالتی که تقارن های پاریته و بازگشت زمان را می شکند شناسایی کردند، اما نه به عنوان یک تقارن چرخشی اسپینی. بر اساس توصیف شکست تقارن لاندائو از نظم ها این می بایست پایان داستان می بود. اگرچه، به زودی فهمیده شد که حالت های اسپینی کایرال  متفاوت زیادی وجود دارد که دقیقا یک تقارن دارند، بنابراین تقارن به تنهایی نمی تواند برای مشخص کردن حالت های اسپینی کایرال متفاوت کافی باشد. این بدان معناست که حالت های اسپینی کایرال نوع جدیدی از نظم اند که فراسوی توصیف تقارنی معمول هستند. نوع جدید نظم پیشنهاد شده “نظم توپولوژیک” نامیده شد (نام “نظم توپولوژیک” از نظریه موثر انرژی کم حالت های اسپینی کایرال ناشی شده است که یک نظریه میدان کوانتومی توپولوژیکی است). اعداد کوانتومی جدید، مانند تبهگنی حالت پایه و فاز هندسی غی آبلی مربوط به حالت های پایه تبهگن، برای مشخصه یابی/تعریف نظم های توپولوژیکی متفاوت در حالت های اسپینی کایرال معرفی شدند. اخیرا، نشان داده شده است که نظم های توپولوژیک می توانند توسط آنتروپی توپولوژیک مشخصه یابی شوند.

اما آزمایش ها به زودی نشان داد که حالت های اسپینی کایرال ابررساناهای دما بالا را توصیف نمی کند و نظریه نظم توپولوژیک به تئوری بدون پشتوانه عملی تبدیل شد. اگرچه، شباهت بین حالت های اسیپینی کایرال و حالت های هال کوانتومی اجازه داد تا نظریه نظم توپولوژیک برای توصیف تفاوت های حالت های هال کوانتومی استفاده شود. دقیقا مانند حالت های اسپینی کایرال، حالت های هال کوانتومی متفاوت همگی دارای تقارن یکسان  هستند و ورای توصیف شکست تقارن لاندائو قرار دارند. از طرفی نشان داده شده است که نظم های متفاوت در حالت های هال کوانتومی متفاوت را حقیقتا می توان توسط نظم های توپولوژیک توصیف کرد، بنابراین نظم توپولوژیک دارای پشتبانی تجربی است.

در سال 1982 حالت هال کوانتومی کسری (FQH) قبل از معرفی مفهوم نظم توپولوژیک (در سال1989) کشف شد. اما حالت FQH اولین آزمایش کشف حالت منظم توپولوژیکی نبود. ابررسانا، که در سال 1911 کشف شد اولین کشف تجربی حالت منظم توپولوژیکی بود که دارای نظم توپولوژیک Z₂ است.

اگرچه حالت های منظم توپولوژیکی معمولا در سیستم های برهمکنشی قوی فرمیونی/بوزونی ظاهر می شوند، یک نوع ساده از نظم توپولوژیک می تواند در سیستم های فرمیونی آزاد ظاهر شود. این نوع از نظم توپولوژیک به حالت هال کوانتومی صحیح اشاره دارد، که می تواند توسط عدد چرن مربوط به نوار انرژی پر شده مشخصه یابی شود اگر ما حالت هال کوانتومی صحیح را روی یک شبکه در نظر بگیریم. محاسبات نظری نشان داده است که این عدد چرن را می توان به صورت تجربی برای یک سیستم فرمیونی آزاد اندازه گرفت. همچنین مشخص شده است که یک عدد چرن را می توان (شاید به صورت غیر مستقیم) با استفاده از حالت های لبه ای اندازه گرفت.

مکانیسم

یک کلاس وسیع از نظم های توپولوژیک 2+1D بوسیله مکانیسمی به نام چگالش ریسمان-شبکه فهمیده شده است. این کلاس از نظم های توپولوژیک می توانند یک لبه گاف دار داشته باشند  بوسیله نظریه رسته ادغام یکانی (یا رسته مونوید) دسته بندی می شود. می توان نشان داد که چگالش ریسمان-شبکه می تواند انواع زیادی از تفاوت ها را تولید کند، که ممکن است نشان دهد که انواع جدید زیادی از مواد هنوز کشف نشده اند.

حرکت جمعی ریسمان های چگالیده منجر به برانگیختگی حالت های چگال ریسمان-شبکه می شود. این برانگیختگی ها به بوزون های پیمانه ای منجر می شود. انتهای این ریسمان ها نقص ها قرار دارند که به نوع دیگری از برانگیختگی اشاره دارند. این برانگیختگی ها بار های پیمانه ای هستند و می توانند از آمار فرمی یا کسری پیروری کنند.

چگالش سایر اشیاء گسترش یافته مانند membrane ها و brane-nets ها و فراکتال ها نیز منجر به حالت های منظم توپولوژیکی و “صلبیت کوانتومی” می شود.

مقدمات ریاضی

می دانیم که نظریه گروه مقدمات ریاضی نظم های شکست تقارن است. مقدمات ریاضی نظم توپولوژیکی چیست؟ چگالش ریسمان-شبکه پیش بینی می کند که رسته تانسوری (مانند رسته ادغام یا رسته مونوید) بخشی از مقدمات ریاضی فاز توپولوژیک در 2+1D است. فاز توپولوژیک در ابعاد بالاتر ممکن است به نظریه n-رسته مربوط باشد. یک زیر کلاس از نظم توپولوژیک -نظم توپولوژیک آبلی در دو بعد- را می توان بوسیله ی روش k-ماتریکس دسته بندی کرد. برخی پیش بینی می‌کنند که نظم توپولوژیک به صورت ریاضی توسط تقارن کوانتومی توسعه یافته توصیف می شود.

کاربرد ها

موادی که توسط نظریه شکست تقارن لاندائو توصیف شدند اثرات قابل توجی روی تکنولوژی داشتند. برای مثال، مواد فرومغناطیس که تقارن چرخشی اسپینی در آنها شکسته می شود می توانند به عنوان محل ذخره اطلاعات دیجیتالی استفاده کرد. یک دیسک سخت ساخته شده از مواد فرمغناطیس می تواند گیگابایت ها اطلاعات ذخیره کند. کریستال های مایع که تقارن چرخشی مولکول ها را می شکنند کابرد های وسیعی در فناوری صفحه نمایش دارند؛ امروزه به سختی میتوان خانه ای بدون صفحه نمایش های بلور مایع تصور کرد. بلورهایی که تقارن انتقالی را می شکنند منجر به نوارهای الکترونی خوش تعریفی می شوند به ما اجازه می دهد تا دستگاه های نیمه رسانایی مانند ترانزیستور بسازیم. انواع مختلف نظم های توپولوژیک حتی از انواع مختلف نظم های شکست تقارن نیز غنی تر هستند. این پتانسیل آنها را برای کاربرد های نوین هیجان انگیز پیش بینی می کند.

یکی از کاربردهای نظری این است که حالت های منظم توپولوژیکی به عنوان ماده برای محاسبات کوانتومی در یک تکنیک به نام محاسبات کوانتومی توپولوژیکی استفاده کرد. یک حالت منظم توپولوژیکی یک حالت با درهم‌تنیدگی کوانتومی غیر موضعی پیچیده است. غیر موضعی به این معنی است که درهم‌تنیدگی کوانتومی در یک حالت منظم توپولوژیکی در میان ذرات مختلف زیادی توزیع شده است. به عنوان یک نتیجه، الگولی درهم‌تنیدگی های کوانتومی را نمی توان با استفاده از اختلال موضعی از بین برد. این به طور قابل ملاحضه ای اثر ناهمدوسی را کاهش میدهد. این پیش بینی می کند که اگر ما از درهم‌تنیدگی های کوانتومی متفاوت در یک حالت منظم توپولوژیکی برای رمزگذاری اطلاعات کوانتومی استفاده کنیم، اطلاعات ممکن است مدت زمان بیشتری باقی بمانند. اطلاعات کوانتومی که توسط درهم‌تنیدگی های کوانتومی توپولوژیکی کدگذاری شده اند را همچنین می توان با جابه جایی نقص های توپولوژیکی دور همدیگر دستکاری کرد. این عمل ممکن است یک دستگاه فیزیکی فراهم آورد که محاسبات کوانتومی را بهبود بخشد. بنابراین، حالت های منظم توپولوژیکی دستگاه های طبیعی برای محاسبات کوانتومی و حافظه های کوانتومی فراهم می آورند. همچنین تحقق حافظه های کوانتومی و محاسبات کوانتومی ممکن است به طور بالقوه موجب تلورانس خطا شود.

حالت های منظم توپولوژیکی در حالت کلی دارای یک ویژگی خاص هستند که حالت های مرزی غیر بدیهی را شامل می شوند. در خیلی موارد، این حالت های مرزی تبدیل به کانال های رسانای کامل می شوند که می توانند الکتریسته را بدون ایجاد گرما هدایت کنند. این می تواند یکی دیگر از پتانسیل های بالقوه نظم توپولوژیک در دستگاه های الکترونیکی است.

در تشابه با نظم توپولوژیک، عایق های توپولوژیک نیز حالت های مرزی بدون گاف دارند. حالت های مرزی در عایق های توپولوژیک نقش کلیدی در شناسایی و کاربرد های عایق های توپولوژیک دارند. این مشاهدات طبیعی منجر به یک پرسش می شوند: آیا عایق های توپولوژیک مثال هایی از حالت های منظم توپولژیکی هستند؟ در حقیقت عایق های توپولوژیک متفاوت از حالت های منظم توپولوژیکی تعریف شده در این مقاله هستند. عایق های توپولوژیک فقط درهم‌تنیدگی کوتاه برد دارند، در حالی که نظم توپولوژیک که در این مقاله تعریف شده است یک الگوی درهم‌تنیده بلند برد است. نظم توپولوژیک در برابر هر اختلالی مقاوم است. این نظم شامل نظریه پیمانه ای نوظهور، بار کسری نوظهور و آمار کسری است. در مقابل، عایق های توپولوژیک فقط در برابر اختلال هایی مقاوم هستند که تقارن های برگشت زمان و (U(1 را حفظ میکنند. برهم انگیختگی های شبه ذره ای آنها هیچ بار کسری ندارد و از آمار کسری پیروی نمی کند. به بیان دقیق تر، عایق های توپولوژیک یک مثال از نظم SPT است، که اولین مثال از نظم SPT فاز هالدین مربوط به زنجیره اسپین-1 است.

تأثیرات بالقوه

نظریه شکست تقارن لاندائو یک شالوده از فیزیک ماده چگال است و معمولا برای تعریف محدوده تحقیقات ماده چگال استفاده می شود. وجود نظم توپولوژیک به ما گوشزد می کند که طبعت بسیار فراتر از جیزی است که تاکنون نظریه شکست تقارن لاندائو نشان داده بود. نظم توپولوژیک مسیر جدیدی در فیزیک ماده چگال باز کرده است (مسیری جدید  از مواد کوانتومی شدیدا درهم تنیده). ما متوجه شده ایم که فاز های کوانتومی ماده( یعنی فاز های دمای صفر ماده) را می توان به دو کلاس تقسیم کرد: حالت های درهم‌تنیده بلند برد و حالت های درهم‌تنیده کوتاه برد. نظم توپولوژیکی مفهومی است که حالت های درهم‌تنیده بلند برد را توصیف می کند: نظم توپولوژیک = الگوی درهم‌تنیده بلند برد. حالت های درهم‌تنیده کوتاه برد از این نظر که تماما به یک فاز تعلق دارند بدیهی هستند. اگر چه، در حضور تقارن، حتی حالت های درهم‌تنیده کوتاه برد غیر بدیهی هستند . می توانند به فاز های متفاوت تعلق داشته باشند. به این فاز ها نظم SPT گفته می شود. نظم SPT مفهوم عایق های توپولوژیک را به سیستم های برهمکنشی عمومیت می بخشد.

بعضی پیش بینی می کنند نظم توپولوژیک (یا به صورت دقیق تر، چگالش ریسمان-شبکه) در مدل های بوزنی موضعی (اسپینی) این پتانسیل را دارد تا یک منشأ متحد از فوتون ها،الکترون ها و سایر ذرات بنیادی در جهان ما فراهم آورد.