Search
سایتی برای معرفی نظریه ها و الگوریتم های محاسباتی
صفحه اصلی روش ها و الگوریتم ها ضرایب اسلیتر کوستر

ضرایب اسلیتر کوستر

شهریور ۲۷, ۱۳۹۶روش ها و الگوریتم ها 0

1

در مدل تنگ بست برای راحتی کار و جلوگیری از حجم محاسبات زیاد از یک سری فرض ها و تقریب ها استفاده می شود که اصطلاحا به آن مدل تنگ بست نیمه تجربی گفته می شود، از جمله اینکه اوربیتال های اتمی جایگزیده و متعامد فرض می شوند در نتیجه از همپوشانی اوربیتال ها اتمی صرف نظر می کنیم و ماتریس همپوشانی به یک ماتریس یکه تبدیل می شود.

در نهایت ما باید فقط عناصر ماتریسی معادله H_{ij}=\left\langle \Phi_i(\mathbf{k,r}) \right.\left| H \right|\left. \Phi_j(\mathbf{k,r}) \right\rangle را محاسبه کنیم:

(1)   \begin{equation*} {H_{ij}}({\bf{k}}) = \sum\limits_{{t_n}} {{e^{i{\bf{k}} \cdot ({{\bf{t}}_{\bf{n}}} - {{\bf{t}}_{\bf{m}}})}}\left\langle {{\phi _i}({\bf{r}} - {{\bf{t}}_{\bf{m}}})} \right.\left| H \right|\left. {{\phi _j}({\bf{r}} - {{\bf{t}}_{\bf{n}}})} \right\rangle } \end{equation*}

اگر اتم مرکزی را در t_m=0 فرض کنیم ( به علت ناوردایی هامیلتونی تحت انتقال) آن گاه جمع روی t_m، ضریب \frac{1}{N} را حذف می کند و می توانیم بنویسیم:

(2)   \begin{equation*} {H_{ij}}({\bf{k}}) = \sum\limits_{{t_n}} {{e^{i{\bf{k}} \cdot {{\bf{t}}_{\bf{n}}}}}\left\langle {{\phi _i}({\bf{r}})} \right.\left| H \right|\left. {{\phi _j}({\bf{r}} - {{\bf{t}}_{\bf{n}}})} \right\rangle } \end{equation*}

در محاسبات نیمه تجربی تنگ بست پتانسیل بلوری را به صورت جمع پتانسیل های اتمی گونه متقارون کروی V_a(\mathbf{r-t_n}) بیان می کنند و هامیلتونی را به صورت زیر تقریب می زنند:

(3)   \begin{equation*} H=\frac{p^2}{2m}+\sum_{t_n}V_a(\mathbf{r-t_n}) \end{equation*}

با جایگذاری معادله (1) در (2) داریم:

(4)   \begin{equation*} H_ij(\mathbf{k})=\sum_{\mathbf{t_n}}e^i(\mathbf{k\cdot t_n})\int\phi_i^*(\mathbf{r})\left [\frac{p^2}{2m}+V_a(\mathbf{r})+V'(\mathbf{r}) \right ]\phi_j(\mathbf{r-t_n})d\mathbf{r} \end{equation*}

d\mathbf{r} المان حجم در فضای مستقیم و V'(\mathbf{r}) جمع کلیه پتانسیل های اتمی بلور به جز سهم پتانسیل اتم مرکزی که با V_a(\mathbf{r}) نشان داده می شود را بیان می کند. 

با توجه به اینکه اوربیتال های اتمی ویژه توابع هامیلتونی اتمی هستند یعنی:

(5)   \begin{equation*} \left [ \frac{p^2}{2m}+V_a(\mathbf{r}) \right ]\phi_i(\mathbf{r})=E_i \phi_i(\mathbf{r}) \end{equation*}

و با در نظر گرفتن این فرض که اوربیتال های اتمی راست هنجار هستند می توانیم معادله (4) را به صورت زیر باز نویسی کنیم:

(6)   \begin{equation*} H_{ij}(\mathbf{k})=E_i\delta_{ij}+\sum_{t_n}e^{i(\mathbf{k\cdot t_n})}\int \phi_i^*(\mathbf{r})V'(\mathbf{r})\phi_j(\mathbf{r-t_n})d\mathbf{r} \end{equation*}

اگر t_n=0 آن گاه داریم:

(7)   \begin{equation*} H_{ij}(\mathbf{k})=E_i\delta_{ij}+I_{ij} \end{equation*}

و

(8)   \begin{equation*} I_{ij}=\int \phi_i^*(\mathbf{r})V'(\mathbf{r})\phi_j(\mathbf{r})d\mathbf{r} \end{equation*}

که به I_ij انترگال های میدان بلور گفته می شود. اگر فرض کنیم در جایی که توابع موج اتمی \phi_i(\mathbf{r}) گسترش یافته اند پتانسیل های اتمی گونه V'(\mathbf{r}) ثابت باشند آنگاه I_ij عناصر ماتریس یکه خواهند بود و در نتیجه باعث انتقال یک دست همه نوارهای انرژی می شود و می توانیم از آن صرف نظر کنیم.

می دانیم در بلور قوی ترین و موثرترین برهم کنش ها بین نزدیک ترین همسایگان است به همین دلیل معمولا مدل تنگ بست را در تقریب نزدیک ترین همسایگان می نویسند با توجه به این کنته معادله (6) به صورت زیر بازنویسی می شود:

(9)   \begin{equation*} H_{ij}(\mathbf{k})=E_i\delta_{ij}+\sum_{t_I}e^{i\mathbf{k\cdot t_I}}\int \phi_i^*(\mathbf{r})V'(\mathbf{r})\phi_j(\mathbf{r-t_I})d\mathbf{r} \end{equation*}

که در آن جمع روی t_I یعنی نزدیک ترین همسایگان است. جمله انتگرالی فوق بیانگر دامنه پرش الکترون t_{ij}^{\alpha\beta} بین اوربیتال های مختلف اتمی در بین نزدیک ترین همسایگان است. به همین ترتیب رابطه قبل را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

(10)   \begin{equation*} H_{ij}(\mathbf{k})=E_i\delta_{ij}+\sum_{t_I}e^{i\mathbf{k\cdot t_I}}t_{ij}^{\alpha\beta} \end{equation*}

\alpha و \beta بیانگر نوع اوربیتال های اتمی هستند. برای اوربیتال های اتمی از نوع s و p مقادیر دامنه پرش t_{ij}^{\alpha\beta} بر حسب چهار عدد V_{ss\sigma}، V_{sp\pi}، V_{pp\sigma} و V_{pp\pi} بیان می شوند که به خاطر زحمات اسلیتر و کوستر، ضرایب اسلیتر-کوستر نامیده می شوند که تعدادی از روابط آنها در جدول زیر آمده است.

\sigma و \pi نوع پیوند بین اوربیتال های اتمی را مشخص می کند که در شکل های 1 و 2 تصویری از این پیوند ها برای اوربیتال های s و p نشان داده شده است.

شکل 2- پیوند های بین اوربیتال های s و P از نوع \sigma و \pi

شکل 2- حالت هایی که اوربیتال های s و p هیچ پیوندی با هم برقرار نمی کنند.

در ساختار های اتمی اوربیتال ها نسبت به همدیگر جهت گیری های متفاوتی دارند، در این حالت ها مقدار دامنه پرش ترکیبی از پیوند های \sigma و \pi هستند که در ادامه هر کدام از حالت ها را توضیح می دهیم همانطور که در شکل 3 مشاهده می شود اوربیتال های s و p نسبت به یکدیگر دارای جهت گیری با زاویه \theta هستند، a و d و n بردارهای یکه در جهات نشان داده شده هستند. به این ترتیب می توانیم کت حالت اوربیتال p_a را به صورت زیر تجزیه کنیم:

(11)   \begin{equation*} \left| {{p_a}} \right\rangle = \mathbf{a.d} \left| {{p_d}} \right\rangle + \mathbf{a.n} \left| {{p_n}} \right\rangle = \cos\theta \left| {{p_d}} \right\rangle + \sin\theta \left| {{p_n}} \right\rangle \end{equation*}

شکل 3

و با توجه به شکل های 1 و 2 آرایه ماتریس هامیلتونی به این صورت است:

(12)   \begin{equation*} \left\langle s \right.\left| H \right|\left. {{p_d}} \right\rangle = \cos \theta \left\langle s \right.\left| H \right|\left. {{p_a}} \right\rangle + \sin \theta \left\langle s \right.\left| H \right|\left. {{p_a}} \right\rangle = {V_{sp\sigma }}\cos \theta \end{equation*}

باید دقت کرد که همپوشانی بین حالت های \left| s \right\rangle و \left| p_n \right\rangle صفر است و \left\langle s \right.\left| H \right|\left. {{p_d}} \right\rangle = {V_{sp\sigma }}  . 

شکل 4

برای اوربیتال های p با جهت گیری متفاوت در شکل 4 نیز می توانیم مشابه حالت قبل رفتار کنیم و بنویسیم:

(13)   \begin{equation*} \begin{array}{l} \left| {{p_1}} \right\rangle = {{\bf{a}}_{\bf{1}}} \cdot {\bf{d}}\left| {{p_{d1}}} \right\rangle + {{\bf{a}}_{\bf{1}}} \cdot {\bf{n}}\left| {{p_{n1}}} \right\rangle = \cos {\theta _1}\left| {{p_{d1}}} \right\rangle + \sin {\theta _1}\left| {{p_{n1}}} \right\rangle \\ \left| {{p_2}} \right\rangle = {{\bf{a}}_2} \cdot {\bf{d}}\left| {{p_{d2}}} \right\rangle + {{\bf{a}}_{\bf{2}}} \cdot {\bf{n}}\left| {{p_{n2}}} \right\rangle = \cos {\theta _2}\left| {{p_{d2}}} \right\rangle + \sin {\theta _2}\left| {{p_{n2}}} \right\rangle \end{array} \end{equation*}

و عناصر ماتریس هامیلتونی به صورت زیر تعیین می شود:

(14)   \begin{equation*} \begin{array}{c} \left\langle {{p_1}} \right.\left| H \right|\left. {{p_2}} \right\rangle = \cos {\theta _1}\cos {\theta _2}\left\langle {{p_{d1}}} \right.\left| H \right|\left. {{p_{d2}}} \right\rangle + \sin {\theta _1}\sin {\theta _2}\left\langle {{p_{n1}}} \right.\left| H \right|\left. {{p_{n2}}} \right\rangle \\ = {V_{pp\sigma }}\cos {\theta _1}\cos {\theta _2} + {V_{pp\pi }}\sin {\theta _1}\sin {\theta _2} \end{array} \end{equation*}

در استخراج روابط بالا از این نکته که همپوشانی بین اوربیتال های p، که بر هم عمود هستند صفر است، استفاده شده است.

 

 
TAG
مطلب قبلیبرندگان جایزه نوبل فیزیک 2017 معرفی شدند

بنده دانشجوی دکترای فیزیک ماده چگال از دانشگاه تربیت مدرس تهران هستم. حوزه مورد علاقه من فیزیک محاسباتی (به طور خاص نظریه تابعیت چگالی) و همچنین سیستم های توپولوژیک است.

مطالب مرتبط

کاربرد روش تنگ بست به یک نوار s ناشی از تک تراز اتمی s

مهر ۱۳, ۱۳۹۵

روش تنگ بست

شهریور ۲۲, ۱۳۹۵

There are no comments yet

  • سلام , مهمان
  • خروج
  • ورود

    Or use one of these social networks

کانال و گروه تلگرام

برای اینکه همیشه در جریان اخبار باشید و از رویدادها جا نمانید، تازه ترین اخبار و آموزش‌ها را در کانال تلگرام فیزیک محاسباتی دنبال کنید. تلگرام برای بحث و گفت و گو پیرامون کدهای محاسباتی و تئوری های مربوطه می توانید عضوگروه تلگرام فیزیک محاسباتی در تلگرام شوید. گروه تلگرام

شبکه های اجتماعی

گردونه مطالب

برندگان جایزه نوبل فیزیک 2017 معرفی شدند

ضرایب اسلیتر کوستر

اثر هال کوانتومی

دانشمندان برای اولین بار در تاریخ، در دمای اتاق به نور مایع دست یافتند

آموزش نصب سریع کد محاسباتی OpenMX

  • سجاد حمره

    نرم افزار Vnl در این زمینه خیلی خوبه. پست آخری که گذاشتم هم در مورد چگونگی بدست آوردن لایس...

  • سجاد حمره

    سلام وقت شما بخیر آموزش خیلی نرم افزار ها توی سایت موجوده. شما دقیقا چی مد نظرتون هست؟...

  • سجاد حمره

    سلام و درود میشه یکم بیشتر توضیح بدید با این توضیحات هیچ حرفی نمیشه زد...

  • ابراهیمی

    با سلام در صورت امکان در مورد اموزش ترم افزار کوانتوم اسپرسو یا دیگر نرم افزارهای فیزیک حا...

مطالب اخیر

اخبار
6

برندگان جایزه نوبل فیزیک 2017 معرفی شدند

مهر ۱۱, ۱۳۹۶

جایزه نوبل فیزیک 2017 به طور مشترک به راینر ویس،بری سی بریش و کیپ اس تورن اعطا شد.  این سه...

This site is protected by wp-copyrightpro.com