اثر هال کوانتومی

اثر هال تکنیکی کاملا پذیرفته شده برای تعیین تحریک پذیری حامل ها و چگالی آنها به ازای واحد مساحت، در نمونه های نیمه رساناهای حجمی می باشد. بنابراین این تکنیکی قابل قبول برای ساختارهای نیمه رسانای کم بعدی بود. ولی وقتی که چنین اندازه گیری هایی در دماهای پایین صورت گرفت، نتایج به دست آمده کاملا دور از انتظار بودند. مقاومت هال اندازه گیری شده مضرب صحیحی از h/eبود که در آن h ثابت پلانک، و e بار الکترون است. در نتیجه، یک آزمایش پایه ای در نیمه رساناها، به صورت استاندارد تعریف مقاومت در آمده است و جالبتر از آن، باب وسیعی برای تحقیقات بنیادی، مشتمل بر شباهت هایی که می تواند ما را در فهم ابررسانایی یاری کند، باز کرده است که ما در ایجا به آن نمی پردازیم. 

ابتدا اثر هال کلاسیک را در یک نمونه دو بعدی در نظر میگیریم، که جریان I به صورت زیر داده می شود:

(1)   \begin{equation*}  I=wn_sev \end{equation*}

که در آن n_s چگالی سطحی بار، v سرعت متوسط حامل های بار و w پهنای نمونه، آن گونه که در شکل زیر نمایش داده شده است می باشد.

هنگامی که نمونه را در یک میدان مغناطیسی B عمود بر آن قرار می دهیم، باعث می شود که به هر حامل، نیروی \mathbf{F}=e(\mathbf{v}\times \mathbf{B}) x وارد شود که اندازه آن evB بوده و جهت آن به سمت کناره های نمونه می باشد. این امر منجر به تجمع بار در لبه های نمونه می شود، تا جاییکه میدان الکتریکی، E_H، حاصله دقیقا نیروی مغناطیسی را خنثی می کند، eE_H=evB، ولتاژ قابل اندازه گیری V_H در عرض نمونه به صورت زیر داده می شود:

(2)   \begin{equation*}  V_H=E_Hw=vBw \end{equation*}

با ترکیب معادلات (1) و (2) می توانیم ولتاژ هال V_H برای تعیین چگالی n_s سطحی حامل ها استفاده کنیم:

(3)   \begin{equation*}  V_H=\frac{B}{n_se}I \end{equation*}

و مقاومت هال R_H به صورت زیر تعریف می شود:

(4)   \begin{equation*}  R_H=\frac{V_H}{I}=\frac{B}{n_se} \end{equation*}

اثر هال استفاده گسترده ای در اندازه گیری چگالی n_s حامل ها و هم چنین تحرک پذیری \mu دارد که با دانستن جریان I، چگالی حامل ها و ولتاژ طولی خارجی V قابل تعیین است، دارد.

حال این پرسش پیش می آید که اثر هال در دو بعد چگونه کوانتیزه می شود. برای پاسخ به این پرسش به یاد می آوریم که ترازهای انرژی در پایین ترین زیر نوار یک گاز الکترونی دو بعدی (2DEG) در رابطه زیر صدق می کند:

(5)   \begin{equation*}  E(k_x,k_y)=E_0+\tfrac{\hbar^2}{2m^*}(k_x^2+k_y^2) \end{equation*}

که در آن E_0 انرژی محدودشدگی حالت پایه در مرکز منطقه بریلوئن است، و الکترون ها آزادند تا در صفحه x-y حرکت کنند.

هنگامی که گاز الکترونی دو بعدی درم عرض یک میدان مغناطیسی قوی قرار میگیرد، الکترون ها در مدارهای سیکلوترونی دوبعدی حرکت خواهند کرد. به طور کلاسیک، نیروی رو به مرکز F وارد به هر الکترون به صورت زیر داده می شود:

(6)   \begin{equation*}  F=evB=\frac{m^*v^2}{r} \end{equation*}

که در آن r شعاع مدار سیکلوترونی است. بنابراین فرکانس سیلکوترونی \omega_c مستقیما به میدان مغناطیسی B به صورت زیر بستگی پیدا می کند:

(7)   \begin{equation*}  \omega_c=v/r=eB/m^* \end{equation*}

از نظر کلاسیک تمامی مقادیر شعاع r و بنابراین انرژی E مجاز هستند. ولی می توان نشان داد که اگر آثار کوانتومی را در نظر بگیریم، مقادیر مجاز انرژی های مداری به صورت E_n=(n+\frac{1}{2})\hbar\omega_c داده می شوند، که در آن n یک عدد صحیح است و تراز های کوانتیده انرژی به ترازهای لاندائو معروف می باشند. بنابراین، ترازهای انرژی یک 2DEG به صورت زیر داده می شوند:

(8)   \begin{equation*}  E_n=E_0+(n+\frac{1}{2})\hbar\omega_c+g\mu_B \mathbf{B}\cdot \mathbf{s} \end{equation*}

که جمله آخر برهمکنش میدان مغناطیسی خارجی با اسپین الکترون را توصیف می کند. بنابراین شکل چگالی حالات در حضور میدان مغناطیسی خارجی از مقدار ثابت که در شکل زیر مشخص است:

به دنباله ای از تراز های انرژی مجاز گسسته به شکل زیر تغییر می یابد:

ولی تعداد کل حالت های انرژی بر واحد بازه انرژی ثابت می ماند. قبلا دیدیم که در میدان مغناطیسی صفر، تعداد کل حالات انرژی بر واحد مساحت، N، واقع در محدوده انرژی E و E+dE به صورت N=g_{2D}(E)dE=4\pi m^*/h^2dE داده می شود. سپس در حصور میدان مغناطیسی، تمامی حالت هایی که در بازه dE=\hbar \omega_c قرار دارند، درون هر یک از ترازهای لاندائوی با اسپین بالا یا پایین جمع می شوند. تعداد حالت های N در هر تراز لاندائو به صورت زیر داده می شود:

(9)   \begin{equation*}  N=\frac{1}{2}\left ( \frac{4\pi m^*}{h^2} \right )\hbar\omega_c=\frac{eB}{h} \end{equation*}

هنگامی که j تراز لاندائو پر شده باشند، چگالی منطقه ای حامل ها عبارت است از n_s=Nj و مقاومت هال به صورت زیر داده می شود:

(10)   \begin{equation*}  R_H=\frac{B}{n_se}=\frac{h}{je^2} \end{equation*}

می توان نشان داد که، هنگامی که تراز های لاندائو کاملا پر هستند، و \hbar\omega_c \gg k_BT (یعنی در میدان های قوی و دماهای پایین)، مقاومت R_I در برابر ولتاژ خارجی به صفر میل می کند. در این شرایط، به این دلیل که R_I=0 می باشد، اولا: الکترون ها نمی توانند به ترازهایی (خالی) با همان انرژی پراکنده شوند، و دوم اینکه، وقتی \hbar\omega_c \gg k_BT، الکترون ها نمی توانند به تراز های لاندائوی دیگر پراکنده شوند. با دشتن n_s حامل در واحد مساحت، انتظار داریم هنگامی که n_s=Nj=keB/h است، R_I=0 باشد. 

در عمل برای بسیاری از نمونه ها دیده شده است که R_I=0، و مقاومت هال به صورت R_H=h/je^2، در بازه ای متناهی حول B=hn_s/je از مقادیر میدان، همان طوری ه در شکل زیر نشان داده شده است، کوانتیزه شده است.

ارتفاع پله ها در اثر هال کوانتومی  با دقتی بهتر از یک در 10قابل اندازه گیری است، و منجر به تعیین بسیار دقیق h/e^2=25813\Omega می شود. بنابراین یک آزمایش بنیادی نیمه رسانا می تواند برای تعریف ثابت های بنیادی (h یا e)، و هم چنین به عنوان استاندارد مقاومت برای تعریف اهم بکار رود. در اینجا مدل اثر هال کوانتومی زیادی ساده شده است. به عنوان مثال این مدل، توضیحی برای پهنای فلات های R_H در شکل قبل ارائه نمی کند. پهنای فلات ها را می توان بر اساس پهن شدگی تراز های لاندائو در اثر ناخالصی ها، و جایگزیده شدن الکترون ها در بال های ترازهای لاندائوی پهن شده، آن طوری که در شکل زیر نشان داده شده، توضیح داد.

رسانش از طریق حالت های گسترده روی می دهد، و بنابراین هنگامی که انرژی فرمی کاملا درون نوار حالت های جایگزیده قرار دارد، باز الکترون های رسانش جایی نزدیک از نظر انرژی برای پراکنده شدن پیدا نمی کنند. هنگامی که میدان مغناطیسی به اندازه ای بزرگ است که تمام الکترون ها در پایین ترین تراز لاندائو قرار دارند، انتظار فلات دیگری برای مقاومت هال R_H، یا صفری برای R_I نداریم. بناراین مشاهده فلات ها و صفر ها برای هنگامی که پایین ترین تراز لاندائو یک-سوم، یا دو-سوم پر بود، و بعد ها با بهتر شدن کیفیت مواد در کسرهای دیگری مانند 1/5، 2/5، 2/7، 2/9 و غیره شگفتی بزرگی بود (شکل زیر).

اثر هال کوانتومی کسری

نظریه این فلات ها نیازمند آثار بس-الکترونی است که باعث باز شدن گاف درون تراز لاندائو می شود: به عنوان مثال حالت های مقیدی شامل سه الکترون وجود دارند که برانگیختگی های آنها دارای بار 1/3 است، و موجب به وجود آمدن فلات های 1/3 و 2/3 می شوند. نظریه اثر هال کوانتومی شباهت ها و موازات های چندی با ابررسانایی دارد، و تشابه های بین این دو پروسه به طور قابل توجهی فهم اثر هال کوانتومی را پیش برده است.

منبع: کتاب نظریه کوانتومی جامد نوشته یون پ. اوریلی ترجمه سید اکبر جعفری

 


بنده دانشجوی دکترای فیزیک ماده چگال از دانشگاه تربیت مدرس تهران هستم. حوزه مورد علاقه من فیزیک محاسباتی (به طور خاص نظریه تابعیت چگالی) و همچنین سیستم های توپولوژیک است.


There are no comments yet

  • سلام , مهمان
  • خروج
  • ورود

    Or use one of these social networks

This site is protected by wp-copyrightpro.com