صفحه اصلی مطالب آموزشی تغییر بی دررو و فاز هندسی

تغییر بی دررو و فاز هندسی

یکی از مهم ترین پیشرفت های دهه های اخیر مکانیک کوانتومی فرمول بندی قطعی فاز هندسی بود که در سال 1983 توسط بری صورت گرفت. ضرایب فازی که به واسطه ی تغییرات بی دررو ایجاد می شوند به صورت موجزی بیان گردیده و در زمینه های مختلف فیزیک کاربردهای گسترده ای یافته و بنابراین منظر جدیدی به مکانیک کوانتومی داده است.

قضیه بی دررو

ابتدا اسپینی با اندازه ی S را در حضور یک میدان مغناطیسی یکنواخت و مستقل از زمان در نظر میگیریم. به خاطر گشتاور مغناطیسی وابسته به اسپین، سطوح انری این سیتسم کوانتیده به 2S+1 سطح تجزیه می گردد. در ضریب فازی کت حالت $\left| n \right\rangle$ ، که دارای n امین ویژه مقدار E_n است، به واسطه تحول زمانی تغییری به میزان

(1) $\begin{equation*} \left| n \right\rangle \to {{e}^{-i{{E}_{n}}t/\hbar }}\left| n \right\rangle \end{equation*}$

ایجاد می شود (برای هامیلتونی ثابت نسبت به زمان). در حقیقت، این تحول زمانی یک حالت مانا است. سپس بسیار آرام، جهت میدان مغناطیسی را تغییر می دهیم. به همرا میدان مغناطیسی کند تغییر، جهت اسپین هم تغییر می کند. به عبارت دیگر مؤلفه آن در جهت میدان مغناطیسی نسبت به زمان ثابت می ماند. به همین خاطر، همراه با تغییر میدان مغناطیسی، عدد کوانتومی اولیه ی n تغییری نمی کند. این مثال، نمونه ای از قضیه ی بی دررو در مکانیک کوانتومی است.

به طور کلی تر، طبق قضیه بی دررو، لازم است که تحت وردش آرامی که از خارج بر روی سیستم مکانیکی اعمال می شود، ناورداهای مکانیکی ای وجود داشته باشند. اعداد کوانتومی در سیستم های کوانتومی، آنتروپی در سیستم های ترمودینامیکی و انتگرال کنش در سیستم های مکانیک کلاسیکی، مثال هایی از ناورداهای بی دررو هستند. در اینجا منظور ما از تغییر بی دررو، به طور ساده تغییرات زمانی ای است که نسبت به زمان مشخصه ی حرکت سیستم (نظیر دوره ی تناوب حرکت نوسانی) بسیار کند باشد. ما در خصوص اینکه چه تغییر آرامی را می توان به عنوان بی دررو در نظر گرفت، بحث بیشتری نخواهیم کرد (فصل 17 از کتاب مکانیک کواتومی اثر مسایا را ببینید). موضوع اصلی بحث ما، چگونگی تغییر کت حالت $\left| n \right\rangle$ یک سیستم کوانتومی تحت تغییرات بی دررو است. خواهیم دید که علاوه بر (1) (البته کمی مبسوط تر)، ضریب فازی دیگری هم که به مسیر فرآیند بی دررو بستگی دارد، ظاهر خواهد شد. شکل عمومی این فاز در مقاله ی مهم بری آمده است.

فاز بری

هامیلتونی سیستمی که دارای یک پارامتر خارجی وابسته به زمان $\textbf{R} (t)$ است را با $H \textbf{R} (t)$ نشان می دهیم. کت $\left| n(\mathbf{R}(t)) \right\rangle$ مربوط به n امین ویژه حالت انرژی، که متناظر با $\textbf{R} (t)$ است، در زمان t در رابطه ی ویژه مقداری

(2) $\begin{equation*} H(\mathbf{R}(t))\left| n(\mathbf{R}(t)) \right\rangle ={{E}_{n}}(\mathbf{R}(t))\left| n(\mathbf{R}(t)) \right\rangle \end{equation*}$

صدق می کند. این کت را بهنجار در نظر میگیریم. فرض می کنیم که در طی زمان از $\mathbf{R}(0)={{\mathbf{R}}_{0}}$ متحول شده است، و کت حالت در زمان t را در $\left| n({{\mathbf{R}}_{0}}),{{t}_{0}}=0;t \right\rangle$ میگیریم. معادله ی شرودینگر وابسته به زمانی که این کت در آن صدق می کند، عبارت است از:

(3) $\begin{equation*} H(\mathbf{R}(t))\left| n({{\mathbf{R}}_{0}}),{{t}_{0}};t \right\rangle =i\hbar \left| n({{\mathbf{R}}_{0}}),{{t}_{0}};t \right\rangle \end{equation*}$

که در آن t₀=0 است. اگر تغییرات $\textbf{R} (t)$ به اندازه کافی کند باشد، طبق قضیه ی بی دررو انتظار داریم که $\left| n({{\mathbf{R}}_{0}}),{{t}_{0}};t \right\rangle$ متناسب با n-امین ویژه کت انرژی $\left| n(\mathbf{R}(t)) \right\rangle$ عملگر $H(\mathbf{R}(t))$ در زمان t باشد. بنابراین آنرا به صورت زیر نمایش می دهیم

(4) $\begin{equation*} \left| n({{\mathbf{R}}_{0}}),{{t}_{0}};t \right\rangle =\exp \left\{ -\frac{i}{\hbar }\int\limits_{0}^{t}{{{E}_{n}}(\mathbf{R}({{t}^{\prime }}))d{{t}^{\prime }}} \right\}\exp (i{{\gamma }_{n}}(t)\left| n(\mathbf{R}(t) \right\rangle \end{equation*}$

ضریب اول در سمت راست رابطه ی بالا، ضریب فاز دینامیکی معمول حالت های مانا است که جمع تمام تغییرات فاز است. با جایگذاری (4) در (3)، می توان نشان داد که ضریب فازی دوم $\exp (i\gamma (t))$ با رابطه زیر تعیین می گردد:

(5) $\begin{equation*} \frac{d}{dt}{{\gamma }_{n}}(t)=i\left\langle n(\mathbf{R}(t)) | {{\nabla }_{\mathbf{R}}}n(\mathbf{R}(t)) \right\rangle \frac{d}{dt}\mathbf{R}(t)\end{equation*}$

بنابراین می توان $\gamma (t)$ را با یک انتگرال مسیر در فضای پارامتری R نمایش داد

(6) $\begin{equation*} \gamma (t)=i\int_{{{\mathbf{R}}_{0}}}^{\mathbf{R}}{\left\langle n(\mathbf{R}({{t}^{\prime }})) | {{\nabla }_{\mathbf{R}}}n(\mathbf{R}({{t}^{\prime }})) \right\rangle }\text{ }d\mathbf{R}({{t}^{\prime }})\end{equation*}$

که در آن مسیر انتگرال مشابه مسیر فرآیند بی دررو ای است که پارامتر خارجی R از R₀ به $\textbf{R} (t)$ تغییر کرده است. با مشتق گیری نسبت به R از طرفین رابطه ی بهنجارش:

(7) $\begin{equation*} \left\langle n(\mathbf{R}(t)) | n(\mathbf{R}(t)) \right\rangle =1\end{equation*}$

می توان مشاهده کرد که ${{\gamma }_{n}}(t)$ عددی حقیقی است ( $\left\langle n | {{\nabla }_{R}}n \right\rangle$ موهومی محض است). از آنجا که انتگرال (6) شامل مشتق ویژه حالت است، یعنی $\left| {{\nabla }_{R}}n \right\rangle$ ، انتظار می رود که محاسبه عملی (6) پیچیده باشد. ولی اگر R حلقه بسته ای را در فضای پارامتری طی کند و پس از طی بازه ی زمانی T (دوره ی تناوب) به جای اول خود بازگردد، $R(T)={{R}_{0}}$ ، این انتگرال مسیر بسیار ساده می شود. ابتدا با استفاده از قضیه استوکس، انتگرال خطی روی حلقه بسته ی C را به انترگال سطحی روی سطح S(C) که توسط منحنی C محصور است، تبدیل می کنیم.

(8) $\begin{equation*} \begin{align} & {{\gamma }_{n}}(C)=i\oint_{C}{\left\langle n(\mathbf{R}) | {{\nabla }_{\mathbf{R}}}n(\mathbf{R}) \right\rangle }d\mathbf{R}=-\iint_{S(C)}{{{V}_{n}}(\mathbf{R})\cdot d\mathbf{S}} \\ & {{V}_{n}}(\mathbf{R})=\operatorname{Im}{{\nabla }_{\mathbf{R}}}n\times \left\langle n(\mathbf{R}) | {{\nabla }_{\mathbf{R}}}n(\mathbf{R}) \right\rangle \\ & \quad \quad \text{ }=\operatorname{Im}\left\langle {{\nabla }_{\mathbf{R}}}n(\mathbf{R}) \right|\times \left| {{\nabla }_{\mathbf{R}}}n(\mathbf{R}) \right\rangle \\ \end{align}\end{equation*}$

(9) $\begin{equation*} =\operatorname{Im}\sum\limits_{m\ne n}{\left\langle {{\nabla }_{\mathbf{R}}}n(\mathbf{R}) | m(\mathbf{R}) \right\rangle }\times \left\langle m(\mathbf{R}) | {{\nabla }_{\mathbf{R}}}n(\mathbf{R}) \right\rangle \end{equation*}$

که در آن از اتحاد برداری

(10) $\begin{equation*} \nabla \times [f(\mathbf{x})g(\mathbf{x})]=(\nabla f(\mathbf{x}))\times (\nabla g(\mathbf{x}))\end{equation*}$

استفاده شده است. $\left| n(\mathbf{R}) \right\rangle$ را به میزان $\exp (i\chi (R))$ تغییر فاز دهیم، اگر چه انترگال خطی (8) به میزان زیر تغییر می کند

(11) $\begin{equation*} \left\langle n(\mathbf{R}){{\nabla }_{\mathbf{R}}}n(\mathbf{R}) \right\rangle \to \left\langle n(\mathbf{R}){{\nabla }_{\mathbf{R}}}n(\mathbf{R}) \right\rangle +i{{\nabla }_{\mathbf{R}}}\chi (\mathbf{R})\end{equation*}$

ولی از آنجا که $\nabla \times \nabla \chi =0$ است، ${{V}_{n}}(R)$ تغییر نمی کنند. از آنجا که $\left\langle n | {{\nabla }_{R}}n \right\rangle$ موهومی محض است، در خط پایانی رابطه (9) جمله ی m=n را در نظر نگرفته ایم. حال عناصر غیر قطری $\left\langle m | {{\nabla }_{R}}n \right\rangle$ را می توان بدین صور نمایش داد: ابتدا با مشتق گیری رابطه ویژه مقداری (2) نبست به پارامتر خارجی R به رابطه ی زیر می رسیم:

(12) $\begin{equation*} \begin{align} & \left( {{\nabla }_{\mathbf{R}}}H(\mathbf{R}) \right)\left| n(\mathbf{R}) \right\rangle +H(\mathbf{R})\left( {{\nabla }_{\mathbf{R}}}\left| n(\mathbf{R}) \right\rangle \right)= \\ & \left( {{\nabla }_{\mathbf{R}}}E(\mathbf{R}) \right)\left| n(\mathbf{R}) \right\rangle +{{E}_{n}}(\mathbf{R}){{\nabla }_{\mathbf{R}}}\left| n(\mathbf{R}) \right\rangle \\ \end{align}\end{equation*}$

که اگر طرفین آنرا از چپ در $\left\langle m \right|$ ضرب کنیم، بدست می آید:

(13) $\begin{equation*} \left\langle m(\mathbf{R}) | {{\nabla }_{\mathbf{R}}}n(\mathbf{R}) \right\rangle =\frac{\left\langle n(\mathbf{R}) \right|{{\nabla }_{\mathbf{R}}}H(\mathbf{R})\left| n(\mathbf{R}) \right\rangle }{{{E}_{n}}-{{E}_{m}}},\quad m\ne n\end{equation*}$

بدین صورت انتگرالده انترگال سطحی (8) با رابطه زیر داده می شود:

(14) $\begin{equation*} {{V}_{n}}(\mathbf{R})=\operatorname{Im}\sum\limits_{m\ne n}{\frac{\left\langle n(\mathbf{R}) \right|{{\nabla }_{\mathbf{R}}}H(\mathbf{R})\left| m(\mathbf{R}) \right\rangle \times \left\langle m(\mathbf{R}) \right|{{\nabla }_{\mathbf{R}}}H(\mathbf{R})\left| n(\mathbf{R}) \right\rangle }{{{\left( {{E}_{m}}(\mathbf{R})-{{E}_{n}}(\mathbf{R}) \right)}^{2}}}}\end{equation*}$

توجه کنید که بردار ${{V}_{n}}(R)$ ی که از سطح S(C) می گذرد برچسب فرم دیفرانسیلی مرتبه ی 2 از هامیلتونی H(R) بیان شده است. همانطور که خواهیم دید، برای محاسبه V_n معمولا نیازی به دانستن $\left| n(\mathbf{R}) \right\rangle$ نیست. بنابراین جمع بندی مطالب ذکر شده آنست که پس از یک دور کامل، کت حالت با رابطه ی زیر داده می شود:

(15) $\begin{equation*} \left| n({{\mathbf{R}}_{0}}),{{t}_{0}}=0;T \right\rangle =\exp (i{{\gamma }_{n}}(C)\exp \left\{ -\frac{1}{\hbar }\int_{0}^{T}{{{E}_{n}}(\mathbf{R}({{t}^{\prime }}))d{{t}^{\prime }}} \right\}\left| n({{\mathbf{R}}_{0}}) \right\rangle \end{equation*}$

(16) $\begin{equation*} {{\gamma }_{n}}(C)=-\iint_{S(C)}{{{V}_{n}}(\mathbf{R})\cdot dS}\end{equation*}$

به ${{\gamma }_{n}}(C)$ فاز بری می گویند که حاصل تغییر بی درروی پارامتر خارجی است. نشان خواهیم داد که این فاز با خواص هندسی فضای پارامتری مشخص خواهد شد.

نقطه ی تبهگنی و زاویه ی فضایی – ضریب فاز هندسی

فرض کنید به ازاء پارامتر خارجی R*، n امین ویژه حالت $\left| n(\mathbf{R}) \right\rangle$ با m امین ویژه حالت $\left| m(\mathbf{R}) \right\rangle$ تبهگن باشد. اگر چه نقطه تبهگنی R در فضای پارامتری، روی منجی واقعی تغییر بی در رو نیست، اما وجود R برای مقدار ${{\gamma }_{n}}(C)$ اساسی است. این امر بدین علت است که انتگرال ده ${{V}_{n}}(R)$ ، مربوط به فاز ${{\gamma }_{n}}(C)$ ، در R تکینه است (همانطور که در (14) واضح است).

اجازه دهید بحث خود را با در نظر گرفتن یک مثال دنبال کنیم، یعنی مسئله ی اسپین در حضور میدان مغناطیسی (اسپینی با اندازه S و گشتاور مغناطیسی $g\mu S/\hbar$ ). هنگامی که امتداد میدان مغناطیسی B(t) به آرامی تغییر می کند، اما اندازه ی آن ثابت می ماند، در هر لحظه مولفه ی اسپین در امتداد این میدان مغناطیسی را با ${{S}_{z'}}=m\hbar \quad (m=-S,...,+S)$ نشان می دهیم. (امتداد لحظه ای میدان مغناطیسی را جهت مثبت محور – z’ گرفته ایم)، هامیلتونی این سیستم عبارت است از:

(17) $\begin{equation*} H(\mathbf{B})=-g\mu \mathbf{S}\cdot \mathbf{B}/\hbar \end{equation*}$

ویژه مقادیر انرژی هم

(18) $\begin{equation*} {{E}_{m}}=-g\mu mB\end{equation*}$

هستند و نیز

(19) $\begin{equation*} {{\nabla }_{\mathbf{B}}}H(\mathbf{B})=-g\mu \mathbf{S}/\hbar \end{equation*}$

نقطه تبهگنی در مبدأ فضای پارامتری قرار دارد، B=0 ، و تبهگنی ای از مرتبه ی 2S+1 است. وقتی که در ضمن ثابت نگه داشتن اندازه ی میدان مغناطیسی B، جهت آنرا تغییر (دوران) می دهیم و در نهایت آنرا به امتداد اولیه اش بر می گردانیم، بردار B بر روی حلقه ی بسته ای واقع بر کره ای به شعاع B حرکت می کند. در این صورت بردار ${{V}_{m}}(R)$ با استفاده از (14) عبارت است از:

(20) $\begin{equation*} {{V}_{m}}(\mathbf{B})=\operatorname{Im}\sum\limits_{{{m}^{\prime }}\ne m}{\frac{\left\langle m(\mathbf{B}) \right|S/\hbar \left| {{m}^{\prime }}(\mathbf{B}) \right\rangle \times \left\langle {{m}^{\prime }}(\mathbf{B}) \right|S/\hbar \left| m(\mathbf{B}) \right\rangle }{{{B}^{2}}{{\left( {{m}^{\prime }}-m \right)}^{2}}}}\end{equation*}$

به جهت ساده کردن محاسبات، محور z فضای اسپینی را همان امتداد میدان مغناطیسی (محور z’) در نظر میگیریم. از آنجا که تنها جمله های $m'=m\pm 1$ در حالت های میانی سهم دارند، لذا از عبارت

$\left\langle {{j}^{\prime }},{{m}^{\prime }} \right|{{J}_{\pm }}\left| j,m \right\rangle =\sqrt{(j\mp m)(j\pm m+1)}\hbar {{\delta }_{{{j}^{\prime }}j}}{{\delta }_{{{m}^{\prime }},m\pm 1}}$

برای عناصر ماتریسی عملگر اسپین استفاده می کنیم:

(21) $\begin{equation*} \begin{align} & \left\langle S,m\pm 1 \right|{{S}_{x}}/\hbar \left| S,m \right\rangle =\frac{1}{2}\sqrt{(S\mp m)(S\pm m+1)} \\ & \left\langle S,m\pm 1 \right|{{S}_{y}}/\hbar \left| S,m \right\rangle =\frac{\mp i}{2}\sqrt{(S\mp m)(S\pm m+1)} \\ \end{align}\end{equation*}$

با جایگزین کردن (21) در (20) مولفه های بردار ${{V}_{m}}(B)$ را به صورت زیر بدست می آوریم:

(22) $\begin{equation*} {{({{V}_{m}}(\mathbf{B}))}_{{{x}'}}}=0,\quad {{({{V}_{m}}(\mathbf{B}))}_{{{y}'}}}=0,\quad {{({{V}_{m}}(\mathbf{B}))}_{{{z}'}}}=\frac{m}{{{B}^{2}}}\end{equation*}$

بنابراین بردار $V(B)$ به موازات میدان مغناطیسی B است و به طور عمودی از سطح کره ی واقع در فضای B عبور می کند. بنابراین فاز ${{\gamma }_{m}}(C)$ با رابطه زیر داده می شود:

(23) $\begin{equation*} {{\gamma }_{m}}(C)=-m\iint_{{}}{\frac{{\mathbf{\hat{B}}}}{{{B}^{2}}}\cdot d\mathbf{B}=-m}\int_{C}{d\Omega }=-m\Omega (C)\end{equation*}$

که در آن $\Omega (C)$ زاویه فضایی است که در مدار بسته ی C از نقطه تبهگنی R* دیده می شود. این عبارت ساده برای $\gamma (C)$ نه به اندازه میدان مغناطیسی و نه به اسپینی که دینامیک سیستم را معین می کند بستگی دارد، بلکه منحصراً به عدد کوانتومی بدون بعد m و زاویه فضایی $\Omega (C)$ وابسته است. ضریب فازی $\exp (i\gamma (C))$ که حاصل از تغییر بی دررو در امتداد حلقه ی بسته باشد را ضریب فاز هندسی وابسته به نقطه تبهگنی (که تکینه است) می گویند. شکل 1 این انتگرال را برای فاز هندسی در فضای پارامتری نشان می دهد.

شکل1 فضای پارامتر خارجی R. فاز هندسی برای تغییر بی دررو به اندازه ی یک دور در امتداد حلقه ی بسته C، با انتگرال سطحی گرفتن از بردار V(R) ی که از سطح S(C) (که توسط C احاطه شده است) عبور می کند، به دست می آید (شکل سمت راست). این فاز متناسب است با زاویه فضایی که حلقه ی بسته C از نقطه ی تبهگنی R* دیده می شود (شکل سمت چپ).

با توجه به (23)ریال وقتی که فرآیند بی دررو یک بار دور می زند اگر $m\Omega (C)=\pm \pi$ باشد، کت حالت تغییر علامت می دهد. توجه کنید که این نتیجه تنها برای فرمیون ها (که m آنها نیم صحیح است) نیست، بلکه برای بوزون ها با m صحیح هم درست است.

تأیید تجربی

برای تأیید (23)، آزمایشی انجام شده که در آن نوترون های قطبیده از سیم پیچی عبور داده شده اند که داخل آن یک میدان مغناطیسی مارپیچی وجود دارد. نوترون ها با گذارندن یک دوره ی تناوب کامل میدان مغناطیسی در طی بازه زمانی T، همان میدان اولیه را میبینند. زاویه فضایی سمت راست رابطه (23) را می توان با تغییر نسبت اندازه ی میدان مارپیچی به اندازه ی میدان دیگری کهدر امتداد محور مارپیچ اعمال می شود، به طور پیوسته تغییر داد. فرض کنید که اسپین اولیه نوترون ها حالت آمیخته ای از دو ویژه حالت باشد: موازی و پادموازی با میدان. تحت یک تغییر بی در رو، نسبت تعداد این دو حالت ثابت می ماند. بنابراین رابطه زیر:

$\left| \alpha ,{{t}_{0}}=0;t \right\rangle ={{e}^{-i\omega t/2}}\left| + \right\rangle \left\langle + \right|\left| \alpha \right\rangle +{{e}^{i\omega t/2}}\left| - \right\rangle \left\langle - \right|\left| \alpha \right\rangle$

مؤلفه ی عمودی اسپین (عمود بر میدان) نوترون هایی که از داخل سیم پیچ عبور می کنند، در حال دوران خواهد بود که البته امتداد خود میدان نیز در حال تغییر است. همچنین مطابق رابطه (23)، فاز برای نوترونهایی که یک دوره ی تناوب میدان مارپیچی را طی می کنند، برای ویژه حالت های اسپینی موازی و پادموازی با میدان، به اندازه $\pm \Omega /2$ افزایش می یابد. البته همانطور که می دانیم، دو برابر این مقادیر در زاویه دورانی مقدار چشم داشتی اسپین ظاهر می شود. بنابراین علاوه بر فاز دینامیکی، فاز هندسی هم زاویه کل دوران اسپینی، که با $\Phi$ نشان می دهیم، اضافه می شود:

(24) $\begin{equation*} \Phi =g\mu BT/\hbar +\Omega \end{equation*}$

مقدار $\Phi$ با اندازه گیری قطبش نوترون تعیین می گردد. مقدار اندازه گیری شده ی $\Delta \Phi =\Phi -g\mu BT/\hbar$ با مقدار $\Omega$ یی که با شرایط آزمایش معین می شود )یعنی نسبت میدان ها در دو امتداد) توافق نزدیکی دارد. بنابراین صحت (23) برای فاز بری تأیید شده است (شکل 2). این آزمایش در سال 1978 توسط ت. بیتر و د. دابرز انجام شد.

شکل 2 داده های آزمایشی وجود فاز هندسی را نشان می دهند. جابه جایی $\Delta \Phi$ در زاویه دوران اسپین نوترو هایی که از میدان مارپیچی عبور کرده اند، تفریباً با زاویه فضایی $\Omega$ یی که با میدان اعمال شده تعیین می شود مساوی هستند. خط پر نشان دهنده ی پیشبینی نظری است.

ملاحضات کلی در مورد دو تراز متقاطع

در حالت کلی، وقتی پارامتر خارجی $\mathbf{R}=(x,y,z)$ باشد و ما دو تراز متقاطع داشته باشیم، همان مباحثی که در مقال قبلی (اسپین در حضور میدان مغناطیسی) وجود داشت، باز هم حول نقطه ی تبهگنی R* ظاهر می شود. R* را مبدأ فضای پارامتری انتخاب کرده و فرض می کنیم که ویژه حالت های انرژی $\left| +(R) \right\rangle$ و $\left| -(R) \right\rangle$ در ${{R}^{*}}=0$ تبهگن باشد. انرژی را نسبت به نقطه ی تبهگنی اندازه گیری کرده و ویژه مقادیر را به گونه ای می گیریم که ${{E}_{+}}(\mathbf{R})\ge {{E}_{-}}(\mathbf{R})$ باشد. هامیلتونی $H(\mathbf{R})$ را تا مرتبه اول از R حول مبدأ بسط می دهیم و سپس یک تبدیل خطی مناسب انجام می دهیم. در آن صورت هامیلتونی ای که دو تراز را به هم مرتبط می کند، توسط ماتریس هرمیتی $2\times 2$ زیر نمایش داده می شود:

(25) $\begin{equation*} H(\mathbf{R})=\frac{1}{2}\left( \begin{matrix} Z & Z-iY \\ X+iY & -Z \\ \end{matrix} \right)=\frac{1}{2}\mathbf{R}\cdot \mathbf{\sigma }\end{equation*}$

ویژه مقادیر انرژی ${{E}_{\pm }}(\mathbf{R})=\pm \frac{1}{2}R$ هستند و دو تراز همدیگر را به صورت مخروطی در نقطه تبهگنی قطع می کنند. ${{\nabla }_{\mathbf{R}}}H(\mathbf{r})$ برابر $\frac{1}{2}\mathbf{\sigma }$ است. این روابط نظیر روابظ متناظر در مثال اسپین در حضور میدان اند (که $m=\pm \frac{1}{2}$ است). بنابراین با انتگرال گیری بردار

(26) $\begin{equation*} {{V}_{\pm }}(\mathbf{R})=\pm \frac{{\mathbf{\hat{R}}}}{2{{R}^{2}}}\end{equation*}$

روی سطح S، ضریب هندسی حالت کلی دو تراز متقاطع به شکل زیر بدست می آید:

(27) $\begin{equation*} \exp \left( i{{\gamma }_{\pm }}\left( C \right) \right)=\exp \left\{ -i\iint_{S\left( C \right)}{{{V}_{\pm }}(\mathbf{R})\cdot d\mathbf{S}} \right\}=\exp \left\{ \mp \frac{i}{2}\Omega \left( C \right) \right\}\end{equation*}$

مانند گذشته، $\Omega (C)$ زاویه فضایی است که حلقه ی بسته C (مسیر بی دررو) از نقطه تبهگنی R* دیده می شود.

توجه کنید که عبارت (26) برای بردار ${{V}_{\pm }}(\mathbf{R})$ مانند میدان مغناطیسی ایجاد شده توسط یک تک قطبی مغناطیسی واقع در مبدأ است. از نظر ساختاری، تکینگی نقطه ی تبهگنی در فضای پارامتری و تکینگی تک قطبی مغناطیسی یکسان هستند و میدان مغناطیسی یک تک قطبی مغناطیسی نظیر فاز هندسی است. می توان از تشابه با میدان مغناطیسی، نکات دیگری هم بدست آورد. به عنوان نمونه، با مقایسه روابط زیر

(28) $\begin{equation*} \mathbf{B}(r)=\nabla \times \mathbf{A}(\mathbf{r})\end{equation*}$

(29) $\begin{equation*} V\left( \mathbf{R} \right)=\operatorname{Im}{{\nabla }_{\mathbf{R}}}\times \left\langle n\left( \mathbf{R} \right) | {{\nabla }_{\mathbf{R}}}n\left( \mathbf{R} \right) \right\rangle \end{equation*}$

می توان از $\left\langle n(\mathbf{R}) | {{\nabla }_{\mathbf{R}}}n(\mathbf{R}) \right\rangle$ ، به عنوان نوعی پتانسیل برداری حاصل از تکینگی در نقطه ی تبهگنی تعبیر کرد. همانطور که در (11) نشان دادیم، این کمیت وابسته به پیمانه است، ولی V(R)، که متناظر با میدان مغناطیسی B است، پیمانه ناوردا است.

بازنگری اثر آهارونف-بوهم

فرض کنید جعبه کوچکی که در آن یک الکترون محبوس شده، در امتداد حلقه ی بسته ی C، که حطوط شار مغناطیسی ${{\Phi }_{B}}$ را احاطه کرده، یک دور بزند (شکل 3). R را برداری میگیریم که مبدأ ثابت در فضا را به نقطه مرجعی در جعبه وصل می کند. در این مورد، پارامتر خارجی R چیزی جز بردار (مکان) در فضای حقیقی نیست. اگر برای توصیف میدان مغناطیسی B از پتانسیل برداری A استفاده کنیم، در آن صورت تابع موج n-ام الکترون داخل جعبه ( با موقعیت r) به صورت زیر است:

(30) $\begin{equation*} \left\langle \mathbf{r} | n\left( \mathbf{R} \right) \right\rangle =\exp \left\{ \frac{ie}{\hbar c}\int_{\mathbf{R}}^{\mathbf{r}}{\mathbf{A}(\mathbf{{r}'}).d\mathbf{{r}'}} \right\}{{\psi }_{n}}\left( \mathbf{r}-\mathbf{R} \right)\end{equation*}$

شکل 3 اثر آهارونف-بوهم. الکترون داخل جعبه یک بار خطوط شار مغناطیسی را دور می زند.

که در آن تابع موج الکترون داخل جعبه در موقعیت مختصاتی r’ و در غیاب میدان مغناطیسی است. حال در حضور میدان مغناطیسی، می توان به سادگی مشتق تابع موج نسبت به پارامتر خارجی را محاسبه کرد و بدست آورد

(31) $\begin{equation*} \begin{align} & \left\langle n\left( \mathbf{R} \right) | {{\nabla }_{\mathbf{R}}}n\left( \mathbf{R} \right) \right\rangle =\int{{{d}^{3}}x\psi _{n}^{*}\left( \mathbf{r}-\mathbf{R} \right)}\times \\ & \left\{ -\frac{ie}{\hbar c}\mathbf{A}\left( \mathbf{R} \right){{\psi }_{n}}\left( \mathbf{r}-\mathbf{R} \right)+{{\nabla }_{\mathbf{R}}}{{\psi }_{n}}\left( \mathbf{r}-\mathbf{R} \right) \right\}=-\frac{ie\mathbf{A}\left( \mathbf{R} \right)}{\hbar c} \\ \end{align}\end{equation*}$

برای الکترون داخل جعبه، جمله ی دوم داخل انتگرال صفر است. با استفاده از (6) و (31) فاز هندسی به صورت زیر بدست می آید:

(32) $\begin{equation*} {{\gamma }_{n}}\left( C \right)=\frac{e}{\hbar c}\oint_{C}{\mathbf{A}\cdot d\mathbf{R}}=\frac{e}{\hbar c}\iint_{S\left( C \right)}{\mathbf{B}(\mathbf{R}).d\mathbf{S}=}\frac{e}{\hbar c}{{\Phi }_{B}}\end{equation*}$

سیستم پیچیده و پتانسیل بی دررو

تا به حال، کمیت R که به صورت بی دررو تغییر می کند، یک پارامتر خارجی فرض شده بود. حالت جالب تر، بررسی کوانتومی سیستم پیچیده ای است که از دو سیستم تشکیل شده و کمیتی که در سیستم به صورت بی دررو تغییر می کند یک متغیر داخلی دینامیکی باشد. می خواهیم در این باره بحث کنیم که چگونه ظهور فاز بری در یکی از سیستم ها، به طور معکوس بر سیستم دیگری که به صورت آرام حرکت می کند تأثیر می گذارد. سیستم اول به تغییرات بی دررویی که حاصل از سیستم دوم است، سریعاً واکنش نشان می دهد. برای شروع، مسئله یک مولکول چند اتمی، که از الکترون ها و هسته های متعددی تشکیل شده و نمونه ای از یک سیستم پیچیده است را در نظر می گیریم. برای محاسبه ی تراز های انرژی دورانی و نوسانی مولکول، از روشی که سال ها مورد استفاده قرار گرفته بهره میگیریم.

یک مولکول دو اتمی در نظر میگیریم و هامیلتونی این سیستم پیچیده را به صورت زیر می نویسیم:

(33) $\begin{equation*} {{H}_{T}}={{H}_{N}}(\mathbf{R})+{{H}_{el}}(\mathbf{r},\ldots ,{{\mathbf{r}}_{N}})+V(\mathbf{R},\mathbf{r},\ldots ,{{\mathbf{r}}_{N}})\end{equation*}$

که در آن R مختصه فاصله نسبی بین دو هسته و ${{\mathbf{r}}_{1}},\ldots ,{{\mathbf{r}}_{N}}$ مختصات N الکترون هستند. مرکز جرم مولکول را در مبدأ اختیار کرده ایم. جملات اول، دوم و سوم هامیلتونی به ترتیب عبارتند از: انرژی جنبشی هسته ها، انرژی سیستم الکترونی، و انرژی های بر هم کنش بین هسته ها و بین الکترون ها با هسته ها. از آنجا که حرکت هسته ای سنگین نسبتاً کند و الکترون های سبک سریع است، در اینجا می توان از تقریب بی دررو استفاده کرد. ابتدا موقعیت هسته های را ساکن میگیریم، که در این صورت ویژه حالت الکترون ها در شرایط هسته های ساکن، که با $\left| n(\mathbf{R}) \right\rangle$ نشان می دهیم، در رابطه زیر صدق خواهد کرد:

(34) $\begin{equation*} \left\{ {{H}_{el}}(\mathbf{r},\ldots ,{{\mathbf{r}}_{N}})+V(\mathbf{R},\mathbf{r},\ldots ,{{\mathbf{r}}_{N}}) \right\}\left| n(\mathbf{R}) \right\rangle =U(\mathbf{R})\left| n(\mathbf{R}) \right\rangle \end{equation*}$

که در آن ${{U}_{n}}(\mathbf{R})$ انرژی ویژه حالت n-ام است. سپس ویژه کت این سیستم پیچیده را به صورت حاصلضرب کت هسته $\left| A \right\rangle$ در کت الکترون تقریب می زنیم:

(35) $\begin{equation*} \Psi =\left| A \right\rangle \left| n(\mathbf{R}) \right\rangle \end{equation*}$

با جایگذاری آن در معادله شرودینگر سیستم پیچیده ${{H}_{T}}\Psi =E\Psi$ ، بدست می آوریم:

(36) $\begin{equation*} \left( {{H}_{N}}(\mathbf{R})+{{U}_{n}}(\mathbf{R}) \right)\left| A \right\rangle \left| n(\mathbf{R}) \right\rangle ={{E}_{n}}\left| A \right\rangle \left| n(\mathbf{R}) \right\rangle \end{equation*}$

از آنجا که ${{H}_{n}}(\mathbf{R})$ عملگری دیفرانسیلی نسبت مختصات R هسته است، بر روی کت حالت هسته $\left| A \right\rangle$ و کت حالت الکترون $\left| n(\mathbf{R}) \right\rangle$ اثر می کند. ولی اگر دامنه ی حرکت نسبی بین دو هسته نسبت به فاصله ی بین آنها کوچک باشد، می توان از جمله مشتق گیری کت حالت الکترون نسبت به R صرف نظر کرد. به این تقریب، تقریب بورن-اپنهایمر می گویند. در این صورت رابطه (36) به یک معادله ساده ی ویژه مقداری که تنها شامل مختصات هسته هاست، می انجامد:

(37) $\begin{equation*} \left( {{H}_{N}}(\mathbf{R})+{{U}_{N}}(\mathbf{R}) \right)\left| A \right\rangle ={{E}_{n}}\left| A \right\rangle \end{equation*}$

در معاله بالا، پتانسیل مؤثر ${{U}_{n}}(\mathbf{R})$ را که حرکت هسته را تعیین می کند، پتانسیل بی دررو می نامند.

این پتانسیل مجموع نیروی دافع ی کولنی بین هسته ها و انرژی الکترون ها در R ثابت است. ${{U}_{n}}(\mathbf{R})$ به ازاء هر تراز سیستم الکترونی به دست می آید. مقدار کمینه ی ${{U}_{n}}(\mathbf{R})$ به طور تقریبی فاصله تعادلی بین دسته ها، که مولکول حول آن نوسان و دوران می کند، را می دهد. تراز های انرژی به تقریب با رابطه ی زیر داده می شوند:

(38) $\begin{equation*} \begin{align} & {{E}_{n}}\cong \hbar {{\omega }_{n}}\left( N+\frac{1}{2} \right)+\frac{{{\hbar }^{2}}L(L+1)}{2{{I}_{n}}} \\ & N=0,1,2,\cdots ,L=0,1,2,\cdots \\ \end{align}\end{equation*}$

که در آن ${{\omega }_{n}}$ معرف بسامد زاویه ای است و با انحنا کمینه ی ${{U}_{n}}(\mathbf{R})$ تعیید می گردد و ${{I}_{n}}$ گشتاور ماند مولکول است. اگر دو هسته یکسان باشند، L به علت تقارن جایگشتی به اعداد زوج یا فرد محدود می شود.

اثر دینامیکی یان-تلر

هدف ما بررسی نقش فاز هندسی در یک سیستم پیچیده است. از حالا به بعد مواردی را در نظر میگیریم که حالات الکترونی به ازاء یک آرایش فضایی خاص هسته ها (R*) تبهگن باشند، یعنی مواردی را که پتانسیل بی دررو در رابطه ی

(39) $\begin{equation*} {{U}_{n}}(\mathbf{R})={{U}_{m}}(\mathbf{R})\end{equation*}$

صدق کند و همدیگار را در R* قطع کنند. یادآوری می کنیم که اگر با یک تغییر بی دررو، یکبار به دور نقطه ی تبهگنی R* در فضای R بگردیم، موجب فاز هندسی می شوند. بنابراین در مورد مولکول دو اتمی، فاصله بین دو هسته که تنها پارامتر یک بعدی در تعیین حالت الکترونی است، برای بررسی فاز بری کافی نیست. لازم است مولکول ها (یون های) سه اتمی و یا گروهی از اتم ها در یک بلور را در نظر گرفت. ما در اینجا نوع دوم را به عنوان مثالی برای بحث خود بر می گزینیم. به طور کلی در بلورها، انرژی حالت های الکترونی در میدان بلوری (به عنوان نمونه، یک جفت حالت مداری d) اغلب به ازاء آرایش های اتمی ای که تقارن زیادی دارند تبهگن اند. سپس در اغلب موارد، بلور قدرتی واپیچیده (معوج) می شود و آرایش با تقارن کمتری پیدا می کند و بنابراین با کم کردن انرژی الکترونی، در تراز پایداری حرکت می کند. این پدیده، چیزی است که به آن اثر یان-تلر می گویند. برای ساده تر شدن بحث، فرض کنید که حالت الکترونی یون مرکزی توسط چهار اتم در یک صفحه محاصره شده باشد. همچنین فرض کنید که چهار اتم فوق الذکر در کی آرایش مربعی باشند، به گونه ای که حالت های الکترونی $\left| a \right\rangle$ و $\left| b \right\rangle$ که (عدد) مداری آنها در جهات مختلف افزایش یافته اند، تبهگن باشند. بدین صورت تغییر شکل بلور، تبهگنی دو گانه را از بین می برد. جابه جائی اتم ها از مکان تعادلشان، که آنها را نقطه یک شبکه ی مربعی گرفته ایم، برحسب مدهای نرمال نوسانی بیان می گردند. از میان مدهای نرمال متعدد، دو مد مستقل A و B در شکل 4 نشان داده شده اند که به حالت های تبهگن الکترونی جفت شده اند. فرض کنید A و B هر دو دارای یک بسامد ویژه $\omega$ باشند و مختصات نرمال آنها را به ترتیب با Q_a و Q_b نشان دهیم.

شکل 4 واپیچش بلور که موجد اثر یان-تلر است. دو مد نرمال Q_a و Q_b نشان داده شده اند.

از طرف دیگر، سیستم الکترونی با یک ترکیب خطی از دو تراز تبهگن توصیف می شود:

(40) $\begin{equation*} \left| a \right\rangle ={{C}_{a}}\left| a \right\rangle +{{C}_{b}}\left| b \right\rangle \end{equation*}$

در این صورت می توان هامیلتونی مؤثر نوسان نرمال، که به سیستم الکترونی جفت، را به صورت زیر نوشت:

(41) $\begin{equation*} \frac{P_{a}^{2}+P_{b}^{2}}{2\mu }+\frac{\mu {{\omega }^{2}}}{2}\left( Q_{a}^{2}+Q_{b}^{2} \right)-K\left( \begin{matrix} -{{Q}_{a}} & {{Q}_{b}} \\ {{Q}_{b}} & {{Q}_{a}} \\ \end{matrix} \right)\end{equation*}$

که در آن P_a و P_b به ترتیب تکانه های همیوغ Q_a و Q_b، $\mu$ جرم مؤثر نوسان نرمال و K قدرت جفت شدگی بین الکترون ها و شبکه است. ماتریسی که نمایشگر برهم کنش است، بر روی بردار حالت الکترونی $\left( \begin{matrix} {{C}_{a}} \\ {{C}_{b}} \\ \end{matrix} \right)$ اثر می کند. با این فرض که نوسان جابه جایی اتمی کوچک است، برهم کنش را با جملات مرتبه ی اول از مختصات نرمال Q_a و Q_b، بیان کرده ایم. با نوشتن مختصات نرمال به صورت زیر:

(42) $\begin{equation*} {{Q}_{a}}=\rho \cos \theta ,\quad {{Q}_{b}}=\rho \sin \theta \end{equation*}$

ویژه انرژی $\varepsilon$ و ویژه کت سیستم الکترونی، با حل رابطه ی زیر به دست می آید:

(43) $\begin{equation*} -K\rho \left( \begin{matrix} -\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} {{C}_{a}} \\ {{C}_{b}} \\ \end{matrix} \right)=\varepsilon \left( \begin{matrix} {{C}_{a}} \\ {{C}_{b}} \\ \end{matrix} \right)\end{equation*}$

جواب ها عبارت اند از:

(44) $\begin{equation*} \varepsilon =\pm K\rho \end{equation*}$

(45) $\begin{equation*} \begin{align} & \left| +\left( \theta \right) \right\rangle =\cos \frac{\theta }{2}\left| a \right\rangle -\sin \frac{\theta }{2}\left| b \right\rangle \\ & \left| -\left( \theta \right) \right\rangle =\sin \frac{\theta }{2}\left| a \right\rangle +\cos \frac{\theta }{2}\left| b \right\rangle \\ \end{align}\end{equation*}$

با استفاده از(41) و (44)، پتانسیل بی دررو برای مختصات نرمال با تابع دو مقداری زیر داده می شود:

(46) $\begin{equation*} V_{ad}^{\pm }(\rho )=\frac{1}{2}\mu {{\omega }^{2}}{{\rho }^{2}}\pm K\rho \end{equation*}$

اگر پتانسیل بی دررو را بر حسب تابعی از Q_a و Q_b رسم کنیم، شکلی شبیه «کلاه مکزیکی» دارد (شکل 5). پتانسیل شامل دو سطح با تقارن محوری است و مقدار کمینه ی آن در ${{\rho }_{0}}=K/\mu \omega$ واقع است.

شکل 5 سطح پتانسیل بی درروی مربوط به اثر دینامیکی یان-تلر

حال توجه کنید که کت ها حالت الکترونی (45)، تحت دوران $2\pi$ حول محور تقارن تغییر علامت می دهند:

(47) $\begin{equation*} \left| \pm (\theta =2\pi ) \right\rangle =(-1)\left| \pm (\theta =0) \right\rangle \end{equation*}$

به ظاهر، این پدیده نظیر دوران اسپین $S=\frac{1}{2}$ است، زیرا تابعیت مثلثاتی این کت ها به زاویه دوران (در 45)، به صورت $\theta /2$ است. اما در واقع این مسئله هیچ ربطی به اسپین ندارد، زیرا در اینجا کت حالت مداری سیستم الکترونی است که تغییر علامت می دهد. به سادگی می توان نشان داد که ضریب (1-) در سمت راست رابطه ی همان ضریب فاز بری است. در اینجا، مبدأ صفحه ی – ${{Q}_{a}}{{Q}_{b}}$ ، نقطه تبهگنی سیستم الکترونی است. هنگامی که بردار (Q_a و Q_b)، که حالت تغییر شکل شبکه را توصیف می کند، یک بار به دور مبدأ بچرخد، “زاویه فضایی” متناظر آن برابر $2\pi$ می شود. بنابراین با استفاده از رابطه ی کلی (27)، کت کت حالت الکترونی در ضریب فاز هندسی $\exp (\mp i2\pi /2)$ ضرب می شود. لازم به ذکر است که وقتی در سال 1963 ج-هرزبرگ و لانگ هیگینز به منظور مطالعه ی مولکول ی مولکول چند اتمی، مسئله یک سیستم جفت شده با تبهگنی را حل می کردند، به طور طبیعی به این نوع فاز بری رسیده بودند.

همانطور که نشان داده شد، برای چنین سیستم الکترون-شبکه ای که حالت های الکترونی تبهگن به دو مد نوسانی جفت شده اند، کمینه ی پتانسیل بی دررو یک چاه نیست بلکه یک دره ی پیوسته است. بنابراین تغییر شکل دینامیکی شبکه و تغییر حالت بی درروی متناظر با آن برای سیستم الکترونی، هر دو مطرح اند. این همان چیزی است که به آن اثر دینامیکی یان-تلر می گویند. حال اجازه دهید حرکت دینامیکی مختصات نرمال (Q_a و Q_b) (و یا $(\rho ,\theta )$ ) را تحت پتانسیل بی درروی (46) در نظر گرفته و تأثیر فاز بری بر دینامیک را بیابیم. معادله شرودینگر دو بعدی که باید حل شود، عبارت است از

(48) $\begin{equation*} \left\{ -\frac{{{\hbar }^{2}}}{2\mu }\left( \frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{\rho }^{2}}}+\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial \rho }+\frac{1}{{{\rho }^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{\theta }^{2}}} \right)+V_{ad}^{\pm }(\rho ) \right\}\Psi (\rho ,\theta )=E\Psi (\rho ,\theta )\end{equation*}$

که در آن تابع موج $\psi (rho,\theta )$ به صورت حاصلضرب قسمت هسته ای ${{\varphi }_{\pm }}(\rho ,\theta )$ در کت حالت الکترونی است:

(49) $\begin{equation*} \psi (\rho ,\theta )={{\varphi }_{+}}(\rho ,\theta )\left| +\left( \theta \right) \right\rangle +\varphi -(\rho ,\theta )\left| -\left( \theta \right) \right\rangle \end{equation*}$

منظور از پتانسیل بی درروی $V_{dd}^{\pm }$ در (48) آنست که $V_{dd}^{\pm }$ بر روی ${{\varphi }_{+}}$ تابع موج $\psi (\rho ,\theta )$ اثر می کند و $V_{dd}^{-}$ بر قسمت ${{\phi }_{-}}$ آن. از آنجا که (48) معادله ی دیفرانسیلی با متغیر های جداسازی شده است، می توان آنرا با انتخاب تابع موج هسته ای زیر حل کرد:

(50) $\begin{equation*} {{\varphi }_{+}}(\rho ,\theta )={{f}_{\pm }}(\rho ){{e}^{ij\theta }}\end{equation*}$

حال نکته ی بسیار مهم آنست که تابع موج $\psi (\rho ,\theta )$ که کل سیستم حفت شده، شامل الکترون ها وشبکه، را توصیف می کند، باید تابعی تک مقداری باشد. اما وقتی $\theta$ به اندازه ی $2\pi$ دوران کند، کت حالت سیستم الکترونی تغییر می کند. بنابراین به منظور جبران این تغییر علامت، لازم است ${{\varphi }_{\pm }}(\rho ,\theta )$ هم تغییر علامت دهد تا ماهیت تک مقداری $\psi (\rho ,\theta )$ حفظ شود. از این الزام، نتیجه می گیریم که $\exp (ij2\pi )=0$ ، و یا

(51) $\begin{equation*} j=(l+1/2)=\text{half integer},\quad (l=\text{integer)}\end{equation*}$

بدین صورت حضور فاز برای باعق تغییر اعداد کوانتومی ای شده که حرکت اتم ها را تعیین می کند، از اعداد صحیح معمول به اعداد نیم صحیح.

اکر تراز های بی دررو کاملاً از یکدیگر حدا باشند، مجازیم که معادله ی (48) را با صرف نظر کردن از اختلاط بین ${{\varphi }_{+}}(\rho ,\theta )\left| +(\theta ) \right\rangle$ و ${{\varphi }_{-}}(\rho ,\theta )\left| -(\theta ) \right\rangle$ حل کنیم. در این صورت در این ذره پتانسیل، ترازهای برانگیخته ی با انرژی کم به طور تقریبی با رابطه ی زیر داده می شوند:

(52) $\begin{equation*} \begin{align} & {{E}_{nj}}\cong (n+\frac{1}{2})\hbar \omega +\frac{\hbar \left( {{j}^{2}}+\frac{1}{4} \right)}{2\mu \rho _{0}^{2}} \\ & (n:\text{integer,}\quad j:\text{half integer}) \\ \end{align}\end{equation*}$

نتیجه چیزی نیست به جز جمع انرژی نوسانی در جهت شعاعی و انرژی دورانی در صفحه ی مختصات مد های نرمال. (عامل $\frac{1}{4}$ در صورت کسر جمله ی دوم به خاطر سیستم الکترونی ظاهر شده.) از دیدگاه تغییر شکل شبکه، این انرژی ها به ترتیب به نوسان اندازه ی جابه جایی اتمی و تبدیل الگوی تغییر شکل مربوطند. این نوع ترازهای انرژی را می توان به خوبی به طور آزمایشی بررسی نموده و تشخیص داد، به عنوان نمونه از طریق اندازه گیری طیف یون ها در بلورها و طیف مولکول های گاز چند اتمی و یا سایر اندازه گیری های فیزیکی در مواد. بدین علت فیزیک دان هایی که در این زمینه کار می کنند، با کوانتش نیم صحیح در تراز های دورانی، که در برخی مواقع ظهور می کند، آشنایی دارند. پس از مقاله ی بری، طیف مولکول گازی سه اتمی Na₃ مجددا در سال 1986 توسط گروه دلاکرتاز به دقت اندازه گیری شد و کوانتش نیم صحیح تأیید دوباره گردید.

عمومیت فاز هندسی

ما تا به اینجا با بررسی مثال سیستم های کوانتومی، فازی هندسی به نام فاز بری را مورد بحث قرار دادیم. حال به این نکته توجه می کنیم که در عبارت کلی فاز در (27)، اثری از ثابت پلانک نیست. از این دیدگاه، این فاز با ضریب دینامیکی به کلی متفاوت است. بنابراین اگرچه بری در ابتدا بر اساس مکانیک کوانتومی رابطه ی خود را بدست آورد، اما انتظار می رود که ضریب فاز هندسی موضوعی کاملاً عمومی بوده و به کوانتومی یا کلاسیک بودن سیستم ربطی نداشته باشد. حال سؤالی که مطرح می شود آنست که در مدام سیستم ملاسیمی که تحت تأثیر یک تغییر بی دررو است، باید به دنبال فاز هندسی گشت؟

برای نور، که از یک طرف بسیار کوانتومی و نسبیتی است و از طرف دیگر توسط الکترودینامیک کلاسیک هم توصیف می گردد، فاز بری اندازه گیری شده. این کار با عبور دادن نور قطبیده ی خطی از داخل یک فیبر اپتیکی که به صورت مارپیچ تابیده شده انجام گردیده و دوران صفحه ی قطبش آن اندازه گیری شده است. از دیدگاه نطریه ی کوانتومی، فوتون ذره ای است با اسپین یک و ویژه حالت اسپینی آن می تواند با جهت انتظار آن موازی و یا پاد موازی باشد (این دو حالت، به ترتیب به ویژه مقادر 1+ و 1- برای هیلیسیتی منجر می گردند.) این دو ویژه حالت، هر یک نوری با قطبیدگی دایروی اند که قطبش آ«ها در جهت معکوس یکدیگر دوران می کنند. هنگامی که نوری با قطبیدیگی خطی، که ترکیبی از این دو حالت است، از درون فیبری اپتیکی که یک بار تابیده شده عبور می کند، بردار انتشار آن (که در اینجا همان کمیتی است که دچار تغییر بی دررو می شود) یکبار به دو مدار بسته ای می چرخد. (هم زمان اسپین هم می چرخد.) در نتیجه به هر یک از مؤلفه های این حالت ترکیبی، فاز بری متفاوتی افزوده شده و بنابراین صفحه قطبش نور دچار دوران می شود. این آزمایش در سال 1986 توسط چیاوو و تومیتا انجام شد و زاویه ی دوران صفحه قطبش با زاویه ی فضایی ای که با میزان پیچش فیبر اپتیکی تعیین می شود، توفق داشت. از طرف دیگر، می توان این اثر را با الکترودینامیک کلاسیک هم توضیح داد، یعنی با انتگرال گیری از تبدیل موازی پیوسته بردار میدان الکتریکی در داخل فیبر اپتیکی. در مورد فیبر اپتیکی که وسط آنرا تابانده ایم، گرچه امتداد نور ورودی و خروجی موازی اند، اما صفحه قطبش آنها اختلاف خواهند داشت.

در سیستم های مکانیک کلاسیکی هم فاز بری ظاهر می شود، مثلا هنگامی که آونگی مخروطی بر روی زمین دوار نوسان می کند. از دید ناظر ساکن، زمان لازم برای تغییر امتداد ثقل در نقطه ای معین بر روی زمین دوار، بسیار طولانی تر از دوره تناوب آونگ مخروطی است. به عبارت دیگر، امتداد نیروی ثقلی که به آونگ وارد می شود، به خاطر دوران زمین به صورت بی دررو تغییر می کند. فرض کنید سرعت دوران زاویه ای آونگ در صفحه ی مداری آن $\omega$ باشد. در آن صورت، زاویه دروان کل آونگ مخطوری ( $\theta$ ) پس از گذشت یک روز (یک دوره تناوب زمین، که آنرا با T نشان می دهیم)، برابر مقدار ساده $\omega T$ (زاویه ی دینامیکی) نیست، بلکه به اندازه ی $\Delta \theta$ از آن انحراف دارد. یعنی:

(53) $\begin{equation*} \theta =\omega T+\Delta \theta \end{equation*}$

جابه جایی $\Delta \theta$ مستقل از میزان ثقل و نیز طول ریسمانی است که حرکت آونگ را کنترل می کند، و تنها به عرض جغرافیایی نقطه اندازه گیری بستگی دارد. در واقع $\Delta \theta$ یک فاز هندسی است و به آن زاویه ی هنی می گویند.

این پدیده کاملاً شبیه دوران یک اسپین کوانتومی در یک میدان مغناطیسی متغیر است. بیایید در این دو مورد، عبارت زاویه ی دوران کل را، یعنی (24) و (53)، با یکدیگر مقایسه کنیم. این مقایسه مقدار $\Delta \theta$ را برابر $\Omega$ می دهد که در مورد آونگ مخروطی واقعا چنین است. زاویه ی هنی برابر زاویه ای فضایی است که از مرکز زمین، مدار بسته ی رسم شده توسط بردار ثقل وارده بر آونگ (در حین دوران زمین) دیده می شود. این فاز هندسی در مکانیک کلاسیک، متناظر با فاز بری در مکانیک کوانتومی است.

بدین گونه، فاز هندسی حاصل از تغییرات بی دررو، در سیستم های گوناگونی نظیر سیستم های نوسانی، اپتیکی، اسپینی، مولکولی و غیره، صرف نظر از اینکه سیستم مورد نظر کوانتومی یا کلاسیکی باشد، ظاهر می گردد. در فیزیک ماده چگال، علاوه بر اثر دینامیکی یان-تلر که قبلا توضیح داده شد، چنین برخوردی برای توضیح اثر کوانتومی هال هم به کار می رود. در سال های اخیر، فاز بری در نظریه ی میدان هم وارد شده است. بدون آگاهی قبلی از فاز بری، و صرفاً با بررسی دقیق معادله ی شرودینگر، معادله ی نیوتن، معادلات ماکسول و انتگرال مسیر، امکان نداشت بتوان به وجود یکسان چنین فازی در این نظریه ها پی برد. در جمع بندی، می توان گفت که پس از آگاهی از وجود چنین فاز هندسی، فهم ما از مکانیک کوانتومی ژرفتر شده است.

مطلب قبلیبرندگان نوبل فیزیک 2016 اعلام شدند مطلب بعدیدرآمدی بر بسته ی محاسباتی اختاپوس

سجاد حمره

بنده دانشجوی دکترای فیزیک ماده چگال از دانشگاه تربیت مدرس تهران هستم. حوزه مورد علاقه من فیزیک محاسباتی (به طور خاص نظریه تابعیت چگالی) و همچنین سیستم های توپولوژیک است.