بررسی خواص کوانتمی جامدات ۷۰ سال عمر دارد و معادلات آن بهقدری پیچیده هستند که دیراک درمورد أن گفته پیچیده تر از آن هستند که بتوان حلشان کرد.

حل یک معادله 3N بعدی شرودینگر برای توصیف یک سیستم جامد N الکترونی برهمکنشی به نظر غیرممکن میآید ولی این دقیقاً کاری است که مونت کارلوی کوانتمی انجام میدهد. با استفاده از کامپیوترهای موازی میتوانیم سیستمهای تناوبی تا بالاتر از ۱۰۰۰ الکترون که برای بررسی تعداد زیادی از خواص جامدها با دقت بالایی کافی است را شبیه سازی کنیم. امروزه مونت کارلوی کوانتمی یک ابزار بسیار قدرتمند و باارزش برای محاسبات خواص فیزیکی مواد میباشد.

عبارت مونت کارلوی کوانتمی به چندین تکنیک که بر اساس نمونه برداری تصادفی عمل میکند اطلاق میگردد. سادهترین آنها مونت کارلوی وردشی استvariational Monte Carlo (VMC) است که از روش انتگرال تصادفی stochastic integration method برای محاسبه مقدار چشمداشتی تابع موج آزمایشی سیستم بس زره ای استفاده میکند. برای یک سیستم با ۱۰۰۰ الکترون نیاز به یک انتگرال ۳۰۰۰ بعدی است که استفاده از انتگرال مونت کارلو بسیار مؤثر تر از روشهای انتگرال تربیعی نظیر روش سیپسونSimpson’s rule می باشد. ما اشکال VMC این است که دقت نتایج به دست آمده کاملاً به دقت تابع موج آزمایشی وابسته است. روش دیگر مونت کارلوی انتشاری diffusion Monte Carlo (DMC) است که این محدودیت VMC را برطرف می کند. DMC با استفاده از projection technique مؤلفه های شروع تابع موج حالت پایه را افزایش می دهد. در این ۱۰ سال اخیر بطور واضح مشخص شد که VMC و DMC برای مقادیر چشمداشتی حالت پایه جامدهای با برهمکنش ضعیف بسیار دقیق است. همچنین VMC و DMC اطلاعاتی را در مورد حالت برانگیخته ارائه دادند البته نه طیف کامل آنها را.

همچنان که VMC و DMC در محاسبات مطالعه مدل پیوسته الکترون در جامد مورد استفاده قرار میگیرد روشهای دیگری را برای سیستمهای دیگر مورد استفاده قرار می دهند. مونت کارلوی میدان کمکی Auxiliary-field Monte Carlo اغلب روی مدلهای هامیلتونی مانند مدل هابارد Hubbard و مونت کارلوی انتگرال مسیر روشهای مونت کارلوی کوانتمی هستند که برای برسی سیستمهای بوزونی مانند هلیوم مابع مورد استفاده قرار می گیرند. هر در روش مونت کارلوی میدان کمکی و مونت کارلوی انتگرال مسیر در حالت کلی ظرفیت محاسبه سیستمهای الکترونی برهمکنشی در دمای محدود و شاید روزی جامد واقعی وجود دارد. اما در ادامه به توضیح VMC در دمای محدود و روش DMC خواهیم پرداخت.

به دلیل هزینههای زیاد VMC و DMC اکثر محاسبات خواص حالت پایه با دقت پایینتر بوسیله نظربه تابعی چگالی هوهنبرگ-کان-شم Kohn-Sham density-functional theory -Hohenberg و نظریه هارتری فوک Hartree-Fock Theory انجام می پذیرد. علت کاهش هزینههای زمانی در این روشها جابجایی برهمکنش کولنی الکترون-الکترون با پتانسیل مؤثر تک الکترونی است. این کار باعث میشود معادله شرودینگر بس الکترونی قابل جداسازی شود و حل آن آسان شود. نظریه تابعی چگالی یک روش موفق و دامنه کاریرد آن از فیزیک حالت جامد و شیمی کوانتمی تا ژئوفیزیک و بیولوژی مولکولی گسترده شده و بسیار وسیع است.

با وجودی که نظریه تابعی چگالی از نظر مفهومی دقیق است ولی در عمل به دلیل مشخص نبودن شکل دقیق تابعی تبادلی-همبستگی که معیین کننده حرکت الکترون است در محاسبات از تقریب استفاده می کند. در اغلب محاسبات تابعی چگالی از تقریب چگالی موضعی approximation local-density (LDA) یا تقریب گرادیانی GGA) generalized gradiant approximation) استفاده میکنند و در اکثر شرایط هم خوب جواب داده است. نواقص پیش رو غیر معمول هستند اما نشان داده شده است که تخمین پایین انتقال انرژی s-to-d در اتم فلزات انتقالی و مشکلات توصیف پیوند های واندروالس با استفاده از تکنیک QMC بطور موفق آمیزی حل شده است. همچنین مشکل بوجود آمده در مواد دارای تراز کوالانت s p با استفاده از QMC در مسأله خوشه های کربنی با موفقیت حل شده است. این عدم اطمینان از نتایج حاصل از نظریه تابعی چگالی در این خوشه ها حدود بودن قدرت پیشگویی تقریبهای موجود تابعی های انرژی تبادلی همبستگی را بوضوح نشان می دهد.

برهمکنش قوی الکترونی در ترازهای d و f منشأ اثرات ظریفی در جامدات می شود. مانند خاصیت انتقال غیرعادی حالت نرمال ابررسانا های دمای بالا و ظرفیت گرمایی بالای فرمیون های سنگین در دمای پایین. نظریه تابعی چگالی نظریه هارتری فوک و حتی اصلاحاتی مانند مدل هابارد نمیتوانند اثرات برهمکنشی مذکور را توصیف کنند. ساده سازی هیچ گاه بدون هزینه نیست و اکثر تقریبهای مدلهای هامیلتونی مانند نظریه تابعی چگالی نظریه هارتری فوک بطور مشخص روی الکترونهای غیر وابسته است. از طرفی سهم الکترونهای غیر وابسته در انرژی کل بیش از ۹۹٪ است.

برای محاسبات شبیه سازی QMC زمان بیشتری نسبت به محاسبات نظریه تابعی چگالی و نظریه هارتری فوک نیاز است اما محاسبات به وسیله آن برای سیستمهای کوچک به دقت شیمیایی ( که به صورت kcal per mole 1 یا per molecule 0.04 eV تعریف میشود) میرسد. دقت شیمیایی برای پدیدههایی که پیامد نیروهای بین اتمی و واکنشهای شیمیایی هستند کافی است اما به اندازه یک مرتبه اندازه از دقت لازم برای پدیدههایی مانند ابررسانایی کم است. ( خطای نظریه تابعی چگالی از مرتبه دهم eV و خطای مونت کارلوی کوانتمی از مرتبه صدم eV است در حالی که دقت لازم برای محاسبات ابررسانایی از مرتبه هزارمeV است) هزینه زمانی محاسبات QMC با توان ۳ تعداد الکترونها افزایش مییابد. و دلیل اصولی برای کاهش دقت در سیستمهای بزرگ یافت نشده است. ریتم QMC برای پیادهسازی آسان است و همچنین برای محاسبات موازی بسیار مناسب است.

مونت کارلوی کوانتمی قابلیت خود را در زمینههای بسیاری به اثبات رسانده است. یکی از مثالهای آن شبیه سازی گاز الکترونی همگن توسط Ceperley و Alder در سال ۱۹۸۰ بوده که با استفاده از آن تقریب چگالی موضعی LDA پارامتریزه شده که اغلب در نظریه تابعی چگالی مورد استفاده قرار می گیرد. پذیرش سریع این تقریب بر اساس QMC باعث رشد و قدرتمند شدن نظریه تابعی چگالی در طول این مدت شده است.