صفحه اصلی روش ها و الگوریتم ها نظریه تابعیت چگالی

نظریه تابعیت چگالی

سجاد حمرهشهریور ۲۳, ۱۳۹۵روش ها و الگوریتم ها 3

روش های محاسباتی جدید در حال موفق و موفق تر شدن در حل مسائل بس ذره ای حالت جامد هستند. با این وجود تا کنون هیچ نظریه ی کامل و واحدی درباره ی مغناطش در ماده ارائه نشده است. این موضوع از یک سو ناشی از تنوع گسترده در مواد مغناطیسی است که امروزه می شناسیم، از فلزات گرفته تا نیم رساناها (ی مغناطیسی) یا عایق ها تا سیستم های به اصطلاح همبسته ی قوی و کم بعد، و از سوی دیگر ناشی از پیچیدگی هایی است که در خود مسائل بس ذره ای وجود دارد. همان طور که در ادامه خواهم گفت معادله ی شرودینگر بس ذره ای تنها پس از اعمال تقریب هایی زیاد، قابل حل می شود. رایج ترین تقریب مورد استفاده الکترون ها را مستقل، به طوری که اثر یکدیگر را به صورت میانگین ببینند، در نظر می گیرد. با وجود آن که رایانه ها با به کارگیری تکنیک های توسعه یافته بسیاری از ویژگی های مواد مثل چگالی بار وا اسپین، ترازهای انرژی، خواص مغناطیسی و اپتیکی و … را محاسبه می کنند اما این پژوهشگر است که نتایج را تحلیل می کند. در نتیجه، کسب نتایج صحیح نیازمند آشنایی با مدل های متعدد موجود برای بررسی مسئله و آگاهی از مناسب بودن روش محاسبات برای ماده ی مورد نظر است.

معادله ی شرودینگر بس ذره ای

یکی از مهم ترین معادلات فیزیک حالت جامد نظری، معادله شرودینگر الکترون ها و هسته ای یک جامد است. هامیلتونی کلی غیر نسبیتی برای سیستمی از الکترون ها با مختصات r_i و جرم m و هسته ها با مختصات R_I و جرم M این گونه نوشته می شود:

(1) $\begin{equation*} \begin{split} H= & - \frac{\hbar ^2}{2m} \sum_{i} \frac{\partial^2 }{\partial \textbf{r} _i ^2} - \frac{\hbar ^2}{2M} \sum_{I} \frac{\partial^2 }{\partial \textbf{R} _I ^2} + \sum_{i} V_{ext}(\textbf{r} _i)\\ & + \sum_{i\neq j} \frac{e^2}{\left | \textbf{r} _i - \textbf{r} _j \right |} + \frac{1}{2} \sum_{I\neq J} \frac{Z_I Z_J e^2}{\left | \textbf{R} _I - \textbf{R} _J \right |} \end{split} \end{equation*}$

با

(2) $\begin{equation*} V_{ext}(\textbf{r} _i)=-\sum_{I}\frac{Z_I e^2}{\left | \textbf{r} _i - \textbf{R} _I \right |} \end{equation*}$

جملات سمت راست رابطه ی (1) به ترتیب بیان گر انرژی جنبشی الکترون ها، انرژی جنبشی هسته ها، انرژی پتانسیل جاذبه بین الکترون ها و هسته ها و انرژی پتانسیل دافعه بین الکترون ها والکترون ها و بین هسته و هسته ها هستند. اولین و بارزترین راهنمایی برای مواجه به هامیلتونی بالا را اختلاف زیاد جرم الکترون و هسته ارائه می دهد. بدین صورت که حرکت هسته ها در بلور بسیار کندتر از حرکت الکترون هاست. بنابراین ساده ترین تقریب اینست که انرژی جنبشی هسته ها را نادیده بگیرم. اگر هسته ها را در یک آرایش ثابت (غالباً آرایش تعادلی) فرض کنیم، می توانیم دافعه هسته ها را نیز به نوان یک ثابت کناربگذاریم و در انتهای محاسبات آن را برگردانم. در نتیجه هامیلتونی بس ذره ای الکترون های بر همکنشی برابر است با:

(3) $\begin{equation*} H = \sum _{i} h(\textbf{r} _i)+ \frac {1}{2} \sum _{i\neq j} \frac {e^2}{\textbf{r} _{ij}} \end{equation*}$

که

(4) $\begin{equation*} h(\textbf{r})=- \frac {hbar}{2m} \frac {\partial ^2}{\partial \textbf{r} ^2}+V_{ext}(\textbf{r}) \end{equation*}$

و تابع موج بس ذره ای الکترون های برهمکنشی از حل معادله ی شرودینگر زیر به دست می آید:

(5) $\begin{equation*} H\Psi(\textbf{r} _1 \sigma _1 , \textbf{r} _2 \sigma_2 , ...)=E\Psi (\textbf{r} _1 \sigma _1 , \textbf{r} _2 \sigma_2 , ...) \end{equation*}$

که $\texbf{r} _i \sigma _i$ متغیر های فضایی و اسپینی الکترون i ام هستند. یک راه برای یافتن خواص مورد نیاز، حل این معادله شرودینگر N الکترونی و استخراج تابع موج حالت پایه ی N الکترونی است. این روش، بالقوه، دقیق و کامل – به این معنا که هر آنگه را که می توان فهمید به دست می دهد- است. اما متأسفانه از لحاظ محاسباتی، ناکاراآمد و برای N بزرگ غیر عملی است. روش دوم، استفاده از رهیافت های تک ذره ای، اختلالی یا غیر اوربیتالی مثل آنچه که با ماتریس چگالی، چگالی الکترونی یا تابع گرین به دست می آید است. این شیوه شاید دقت و کامل بودن کمتری داشته باشد اما می توان به کارآمدی محاسباتی مفیدی، حتی برای N بزرگ دست یابد.

اولین روش غیر اوربیتالی مبتنی بر چگالی الکترون موسوم به نظریه توماس فرمی که انرژی کل E را به طور تقریبی بر حسب چگالی الکترون $n(\texbf{r})$ بیان می کند، در دهه 1920 ارائه شد. در این چارچوب ساده ترین تابعی چگالی معقول استفاده می شود و چگالی با شرط ثابت بودن تعداد الترون ها وردش می یابد تا جایی که تابعی انرژی کمینه گردد. اما تلر اثبات کرد که در نظریه توماس فرمی، اتم ها برای تشکیل مولکول و جامدات به یکدیگر پیوند نمی خورند. بدون انرژی تبادلی همبستگی، «چسب طبیعت»، پیوند های شیمیایی یا غائبند یا بسیار طویل و ضعیف هستند. با این وجود روش هایی غیر اوربیتالی در حال بهتر شدن هستند. در این باره می توان کارهای اخیر تریکی و دیگران را ملاحضه کرد.

رهیافت تک ذره ای مبتنی بر اوربیتال های اسپینی یا توابع موج تک الکترونی مجازی $\psi _i (\textbf{r} , \sigma$ در دهه ی 1930 توسط هاتری، فک و اسلیتر معرفی شدند. در این میان شیوه پیشگام در حال معادله ی (2) نظریه ی هاتری است که تابع موج حالت پایه ی N الکترونی را با حاصل ضرب ساده ی N اوربیتال اسپینی تک الکترونی نشان می دهد. پیشروی عمده ی بعدی که به درستی اصل طرد پائولی را اضافه می کند نظریه ی هاتری فوک است که تابع موج حالت پایه ی N الکترونی کل را با بهترین حاصل ضرب پادمتقارن از N اروبیتال اسپینی تک الکترونی نشان می دهد. انرژی کل که در نظریه هاتری فوک، در بردارنده ی تبادل اما نه همبستگی کولنی است، بر حسب این اوربیتال ها و عدد اشغال آن ها $f_{i\sigma}$ بیان می گردد و نسبت به آنها کمینه می شود. این روش عموماً انرژی کل E و چگالی الکترونی $n(\textbf{r})= \sum _{i\sigma} f_{i\sigma} \left | \psi _i (\textbf{r} \sigma) \right |^2$ را نسبت به روش های غیر اوربیتالی بهبود می بخشد.

به کارگیری روش های هارتری و هارتری فوک در رایانه های اولیه آسان نبود و به علاوه اثرات مهم همبستگی حذف می شدند. در دهه ی 1950 اسلیتر روش های اوربیتالی و تابع چگالی را با ایجاد تقریب چگالی موضعی (LDA) برای انرژی و پتانسیل تبادلی همبستگی (که خود آن را تقریب Xα می نامید) ممزوج کرد. او دریافت که می توان این روش را به آسانی به طور خودسازگار روی رایانه آورد و نیز می توان بر آورد تقریبی ولی مفید از همبستگی داشت.

نظریه ی تابعی چگالی

در 1964-1965 قضیه ی هوهنبرگ کٌن و معادلات کن شم که پایه های نظریه تابعی چگالی (DFT) مدرن هستند، منتشر شدند. قضیه ی هوهنبرگ کان نشان می دهد که با دشتن تابعی های چگالی درست می توان چگالی حالت پایه ی و انرژی دقیق یک سیستم N الکترونی در یک پتانسیل خارجی را با استفاده از چگالی کل یا اوربیتال ها به عنوان ابزارهای وردشی پیدا کرد. کان و شم نیز یک تقریب موضعی LDA برای انرژی تبادلی همبستگی پیشنهاد دادند که برخلاف تقریب موضعی اسلیتر، برای گاز الکترونی همگن یا تقریباً همگن دقیق بود.

نظریه کان شم تا حدود 1970 که فیزیک دانان ماده چگال دریافتند که این نظریه در تقریب LDA توصیف واقعی قابل ملاحظه ای از جامدات بلوری و سطوح آن ها می دهد، به طور گسترده شناخته نشده بود. از آن به بعد به تدریج این نظریه بر محاسبات ساختار الکترونی برای جامدات حاکم شد. برای محاسبه انرژی سطح جامدات ثابت شده است که تابعی های چگالی از ماحسبات قدیمی تر مبتنی بر تابع موج همبسته دقیق ترند. رهیافت کان شم از اوربیتال های اسپینی برای پیش بینی چگالی الکترونی حالت پایه، انرژی کل و خواص مهم مرتبط با آن ها استفاده می کند. این موضوع اغلب توافق مفید و قابل بهبودی بین دقت و کارآمدی محاسباتی فراهم می آورد. در نتیجه اکنون پر کاربردترین روش برای محاسبات ساختار الکترونی در فیزیک ماده چگالی و شیمی کوانتومی همین روش است. با این وجود، دیگر روش ها از جمله روش های تابع موج کامل، در حال بهبود دقت و کارآمدی خود هستند.

از دهه ی 1920 تا کنون نکات و تجربیات بسیار مهمی درباره ی DFT طرح و منتشر شده است که برخی از آن ها در ادامه می آید:

چگالی در برابر تابع موج همبسته

چگالی الکترونی $n(\textbf{r})$ ابعاد کمتری نسبت به تابع موج N الکترونی $\Psi(\textbf{r} _1 \sigma _1 , ... , \textbf{r} _N \sigma _N)$ (سه مختصه نسبت به 3N مختصه) دارد. استفاده از n به جای $\Psi$ به عنوان ابزار پایه ی وردش، محاسبات ساختار الکترونی را بسیار سریع تر اما نوعاً کم دقت تر می کند. زیرا تابعی های دقیق انرژی جنبشی و تبادلی همبستگی بر حسب n شناخته شده نیستند. این نکته از کارهای توماس و فرمی استفاده می شود.

والتر کان در سخن رانی خود برای جایزه ی نوبل شیمی در سال 1998 واقعیتی را به طور شفاف توضیح داد: فرض کنیم شبکه ای از نقاط را در فضای حقیقی با 10 نقطه در راستای سه محور x ، y و z داریم. در نتیجه می توان چگالی را روی یک شبکه با 10³ عدد محاسبه و ذخیره کنیم. یک تابع موج تک الکترونی را نیز می توان با 10³ عدد نشان داد اما برای مثال یک تابع موج همبسته 10 الکترونی را باید با $(10^3)^{10}=10^{30}$ عدد نشان داد. به طور واضحاین شیوه برای محاسبات مناسب نیست. البته راه های عاقلانه تری نیز برای محاسبه یک تابع موج 10 الکترونی وجود دارد اما این حقیقت که محاسبات برای تابع موج N الکترونی با افزایش N به صورت نمائی افزایش می یابد، باقی می ماند.

اوربیتال ها در برابر تابع موج همبسته

در حالی که دقت زیادی با استفاده از چگالی $n)\textbf{r})$ به عنوان ابزار پایه ای وردش از دست می رود، دقت قابل ملاحظه ای را می توان با استفاده از اوربیتال های پر یا توابع موج تک الکترونی مجازی $\psi _1 (\textbf{r}\sigma)...\psi_N(\textbf{r}\sigma)$ بازیابی کرد. این نکته از کارهای هارتری و فوک در دهه ی 1920 و اسلیتر در دهه 1950 استفاده می شود. در مقال نکته ی قبل توصیف اوربیتالی یک سیستم 10 الکترونی نیازمند محاسبه و ذخیره تنها $10\times 10^3=10^4$ عدد است.

آن چه که ثابت شده وجود دارد اما یافتنی نیست

علی القاعده می توان انرژی حالت پایه و چگالی دقیق N الکترون در پتانسیل خارجی $v(\textbf{r})$ را با روش های زیر به دست آورد:

با حل معادله ی اویلر برای چگالی $n)\textbf{r})$ که توسط هوهنبرگ و کان ثابت شده است.
با حل خودسازگار معادلات تک ذره کان شم برای اوربیتال ها که توسط کان و شم ثابت شده است. در این روش مشتق تابعی $\partial E_{Xc} / \partial n(\textbf{r})$ به عنوان سهم تبادلی همبستگی $v_{XC}(\textbf{r})$ در پتانسیل تک الکترون یا کن شم $v_{KS}(\textbf{r})$ شرکت می کند.

در عمل تابعی که چگالی دقیق $E_V\left [ n \right ]$ برای انرژی کل مورد نیاز روش 1 و تابعی چگالی دقیق $E_XC\left [ N \right ]$ برای انرژی تبادلی همبستگی مورد نیاز روش 2 به هیچ طریقی قابل دستیابی نیستند و باید تقریب زده شوند.

هرچند قضایای هوهنبرگ کان شم تنها قضایای موجودند، اما آگاهی از این که توابع چگالی دقیقی وجود دارند به شدت تقاضا برای تقریب های بهتر و دقیق تر را برانگیخته است.

از گاز الکترونی همگن تا اتم ها، مولکول ها و جامدات

(6) $\begin{equation*} E_{XC}^{LDA}\left [ n \right ]=\int n(\textbf{r}) \varepsilon _{XC}^{unif}(n(\textbf{r}))d^3 r \end{equation*}$

یا تعمیم آن:

(7) $\begin{equation*} E_{XC}^{LSDA}\left [ n_\uparrow , n_\downarrow \right ]=\int n(\textbf{r}) \varepsilon _{XC}^{unif}(n_\uparrow(\textbf{r}),n_\downarrow(\textbf{r}))d^3 r \end{equation*}$

که از $\varepsilon _{XC} ^{unif}$ – چگالی انرژی همبستگی در یک گاز الکترونی همگن- آغاز می شود، برای محاسبات روی جامدات و سطوح جامد به قدر کافی دقیق است اما برای اتم ها و مولکول ها نه. LDA را کان و شم و LSDA را ون بارس و هدین ارائه کردند.

برای سیستم های پوسته باز یا مغناطیسی، در غیاب میدان مغناطیسی خارجی، اصولاً می توان از چگالی کل یا چگالی های تفکیک اسپینی استفاده کرد اما در عمل LSDA از LDA دقیق تر است زیرا اطلاعات بیشتری درباره ی سیستم وارد می کند. این اولین نشانه از یک نردبان ترقی ممکن برای تابعی های انرژی تبادلی همبستگی بود که در ادامه درباره ی آن بحث خواهد شد.

حفره ها الکترون ها احاطه می کنند

می دانیم که قسمت عمده ی برهمکنش بس ذره ای بین الکترون ها توسط برهم کنش میدان میانگین هاتری توصیف می شود و آن چه باقی می ماند (انرژی تبادلی همبستگی) را می توان به صورت برهم کنش الکترو استاتیک بین چگالی الکترونی $n(\textbf{r})$ و چگالی $n_{XC}(\textbf{r} , \textbf{r}' )$ حفره ی تبادلی همبستگی در $\textbf{r}'$ که حول یک الکترون در r ایجاد شده است، توصیف کرد:

(8) $\begin{equation*} E_{XC}=\frac {1}{2}\int n(\textbf{r}) \int \frac {n_{XC}(\textbf{r},\textbf{r}')}{\left | \textbf{r}-\textbf{r}' \right |} d^3 r' d^3 r \end{equation*}$

چگالی حفره تبادلی همبستگی $n_{XC}=n_X +n_C$ برابر با جمعه چگالی حفره های مجزای تبادلی و همبستگی است. حفره تبادلی همان مفهومی را دارد که در نظریه هاتری فاک دارد، باین تفاوت که اوربیتال های هارتری فاک با اوربیتال های کان شم جایگزین شده اند، و حفره همبستگی میانگین یک مقدار چشم داشتی روی ثابت جفت شدگی برای برهم کنش الکترون الکترون در چگالی الکترونی ثابت است. حفره های تبادلی همبستگی شروط دقیق زیر را برآورده می کنند:

(9) $\begin{equation*} n_X(\textbf{r},\textbf{r}')<0,\quad \int n_X (\textbf{r},\textbf{r}') d^3 r=-1, \quad \int n_c(\textbf{r},\textbf{r}')d^3r'=0 \end{equation*}$

این شروط توسط حفره LDA (مربوط به گاز همگن) نیز برآورده می شوند که توضیح می دهد که چرا با وجود تغییرات زیاد چگالی الکترونی در یک بلور، چگالی موضعی LDA خوب عمل می کند.

این نکته از کارهای لانگرت و پردو و گنارسون و لوندکویست استفاده می شود.

پله های بعدی نردبان: بعد از چگالی موضعی، گرادیان آن می آید

بسط مرتبه دوم گرادیانی تابعی تبادلی همبستگی که به صورت زیر ارائه شده است:

(10) $\begin{equation*} E_{XC}^{GGA}\left [ n \right ]=E_{XC}^{LDA}\left [ n \right ] + \int \frac {C_{XC}(n)\left | \nabla n \right |^2}{n^{4/3}} d^3 r \end{equation*}$

موجب بهبود LDA برای چگالی های کند تغییر کننده می شود اما نوعاً از LDA برای چگالی های واقعی کم دقت تر است چون بسط مرتبه دوم حفره از شرایط حفره ی دقیق نکته ی قبل تخطی می کند. دست کاری بسط های گرادیانی به گونه ای که شروط دقیق حفره ی تبادلی همبستگی ارضا شود منجر به توسعه خانواده تقریب های گرادیان تعمیم یافته GGA شده است که دارای شکل کلی زیر هستند:

(11) $\begin{equation*} E_{XC}^{GGA}\left [ n \right ]=\int n(\textbf{r})\varepsilon _{XC}^{GGA}(n,\nabla n) d^3 r \end{equation*}$

را می توان با یا بدون پارامتر های غیر تجربی به دست آورد که از LDA برای انرژی های مجزای تبادلی و همبستگی اتم ها و برای انرژی های تمی شدن مولکول ها و جامدات دقیق تر است.

همان طور که گفته شد چگالی انرژی تبادلی همبستگی در تقریب GGA ( $\varepsilon _{xc} ^ {GGA}$ ) به گونه ای فرمول بندی می شود که هم شامل تصحیحات گرادیانی باشد و هم شروط دقیق را ارضا کند. در عمل اغلب شروط دقیق را روی حفره، تابعی انرژی یا وابستگی ثابت جفت شدگی اعمال می کنند. در واقع همین پیشرفت عمده بود که DFT را مورد توجه شیمی دان ها قرار داد.

پله های بعدی نردبان: اطلاعات ورودی بیشتر، خروجی دقیق تر

می توانیم تابعی های دقیق تری را با اضافه کردن اطلاعات به تابعی چگالی انرژی تبادلی همبستگی ورای n و $\nabla n$ درست کنیم:

آ- meta-GGAs تابعی انرژی جنبشی اوربیتالی

(12) $\begin{equation*} \tau (\textbf{r})=(\frac {1}{2})\sum _{i\sigma} f_{i\sigma}\left | \nabla \psi _i(\textbf{r} \sigma) \right |^2 \end{equation*}$

را همان گونه که بکه همراه با دیگر روش های غیر تجربی ارائه شده توسط پردو و دیگران پیشنهاد داد، اضافه می کند.

ب- hyper-GGAs یا تابعی های هیبریدی اطلاعات تبادلی دقیق مثل انرژی تبادلی دقیق یا حفره های تبادلی دقیق را آن گوه که بکه پیشنهاد داده و توسط دیگران بهبود یافته اضافه می کند. بیشتر hyper-GGAs به درستی تحت قیاس چگالی همگن در حد چگالی بالا به تبادل دقیق منطبق نمی شوند اما بعضی از آن ها این توانایی را دارند.

پ- تابعی های تقریبی فاز تصادفی اوربیتال های اشغال نشده را آن گونه که فورچ و دیگران توسعه دادند اضافه می کند.

از نردبان یاکوب بالا می رویم

آن گونه که پردو اشمیت پیشنهاد دادند و در نکته های گذشته بحث شد نردبان با پنج پله موسوم به نردبان یاکوب برای تقریب های تبادلی همبستگی در نظریه تابعی چگالی متداول ( تابعی های LSDA,GGA,meta-GGA,hyper-GGA,RPA) وجود دارد.

نردبان ژاکوب برای تقریب های تابعی چگالی

تمامی پله ها به جز پله ی hyper-GGA ، اکنون دارای ساختارهای غیر تجربی اند. با بالا رفتن از نردبان دقت افزایش می یابد. هزینه محاسبات از LSDA تا GGA و تا meta-GGA (سه پله نیمه موضعی) به طور متعادل افزایش می یابد اما می تواند در رفته به پله اهی بالاتر افزایش قابل ملاحظه ای داشته باشد. تابعی GGA پردو بورک ارنزرهف (PBE) توصیف نسبتاً دقیقی از اتم ها، مولکول ها و جامدات ارائه می دهد اما برای دست یافتن به دقت بالاتر برای هر سه نوع از سیستم ها بیش از حد ساده است. تابعی GGA بهینه شده برای جامدات وابستگی ضعیف تری به گرادیان نسبت به تابعی بهینه شده برای اتم ها و مولکول ها دارد. با وجود این یک meta-GGA می تواند هم زمان خواص تعادلی اتم ها، مولکول ها و جامدات را به خوبی توصیف کند.

زمانی که تابعی های نیمه موضعی شکست می خورند

تابعی های نیمه موضعی (LSDA,GGA,meta-GGA) زمانی که حفره ی همبستگی، گستره ی وسیعی دارد شکست یم خورند (درنتیجه تابعی کاملا غیر موضعی مورد نیاز است)، زیرا تابعی های نیمه موضعی چیزی در مورد چگالی الکترون در نواحی دور از یک الکترون نمی دانند. این شکست زمانی رخ می دهد که برهم کنش های واندروالس بلند برد بین سیستم های مجزا مهم هستند. تصحیح مورد نیاز در تابعی های RPA گونه ارائه شده است اما نه در تابعی های نیمه موضعی و نه در hyper-GGAs وجود ندارد. شکست همچنین زمانی اتفاق می افتد که الکترون ها در پیوند هایی به اشتراک گذاشته شده اند که بین مراکز دور از هم (مانند اتفاقی که در حین گذار فاز و در حدود شکند می افتد) کشیده شده باشن.د تابعی های نیمه موضعی نمی توانند این پیوند های کشیده شده را توصیف کنند اما تابعی های hyper-GGA و RPA گونه می توانند کم و بیش چنین کاری را انجام دهند.

بعد از ایستایی نوبت پویایی است

نظریه تابعی چگالی علاوه بر موفقیت هایی که درمحاسبه خواص سیستم ها در حالت پایه دارد، با توسعه رهیافت ها به حالت های برانگیخته ی مختلف نیز تعمیم داده شده است. DFT می تواند (قاعدتاً به طور دقیق و در عمل به طور تقریبی) به حوزه های وابسته به زمان و حالت های برانگیخته تعمیم داده شود. ایده ی اساسی، حل هامیلتونی بس الکترونی وابسته به زمان است که در آن پتانسیل تبادلی همبستگی وابسته به زمان $v_{XC}(\textbf{r})$ تابعی ای از چگالی الکترون $n(\textbf{r'} ,t')$ است. این کنته از کارهای رانگ و گروس و دیگران استفاده می شود.

در مواجهه با حالت های برانگیخته ی وابسته به ارتعاشات شبکه، با در نظر گرفتن تقریب آدیاباتیک، معادله حرکت هسته ها به پاسخ خطی $n(\textbf{r})$ به اختلال خارجی ناشی از جابه جایی هسته وابسته می گردد. بارونی و دیگران نشان دادند که در چارچوب DFT می توان به طور خودسازگار این پاسخ خطی چگالی را محاسبه کرد.

مطلب قبلیشبه پتانسیل (مروری جامع) مطلب بعدیچرا زبان پایتون (Python) تا این اندازه محبوب شده ؟

سجاد حمره

بنده دانشجوی دکترای فیزیک ماده چگال از دانشگاه تربیت مدرس تهران هستم. حوزه مورد علاقه من فیزیک محاسباتی (به طور خاص نظریه تابعیت چگالی) و همچنین سیستم های توپولوژیک است.

3 دیدگاه

سلام , مهمان
خروج
ورود

مرا به خاطر بسپار

Or use one of these social networks

مسعود
• یکشنبه ۰۴ تیر ۱۳۹۶ در ۰۵:۴۷
خیلی خوب بود ممنونم

0 0 • پاسخ •
ال
• جمعه ۱۰ دی ۱۳۹۵ در ۱۹:۰۲
سلام حیف این مطالب جامع نیست که منبع ندارند؟

0 0 • پاسخ •
- سجاد حمره • نویسنده
  • سه شنبه ۲۱ دی ۱۳۹۵ در ۲۲:۴۸
  سعی می کنم در آینده مراجع رو کامل تر قرار بدم.
  
  0 0 • پاسخ •

نظریه تابعیت چگالی

معادله ی شرودینگر بس ذره ای

نظریه ی تابعی چگالی

سجاد حمره

3 دیدگاه

کانال و گروه تلگرام

شبکه های اجتماعی

گردونه مطالب

برندگان جایزه نوبل فیزیک 2017 معرفی شدند

ضرایب اسلیتر کوستر

اثر هال کوانتومی

دانشمندان برای اولین بار در تاریخ، در دمای اتاق به نور مایع دست یافتند

آموزش نصب سریع کد محاسباتی OpenMX

گرومکس – GROMACS

« اثر زینو » تأیید شد – تا زمانی که به اتم ها نگاه میکنید حرکت نمی کنند

کلاس آنلاین علم اطلاعات کوانتومی 2 (دانشگاه MIT)

چرا زبان پایتون (Python) تا این اندازه محبوب شده ؟

برندگان جایزه نوبل فیزیک 2017 معرفی شدند

ضرایب اسلیتر کوستر

اثر هال کوانتومی

دانشمندان برای اولین بار در تاریخ، در دمای اتاق به نور مایع دست یافتند

سجاد حمره

سجاد حمره

سجاد حمره

ابراهیمی

مطالب اخیر

برندگان جایزه نوبل فیزیک 2017 معرفی شدند

ضرایب اسلیتر کوستر

اثر هال کوانتومی

دانشمندان برای اولین بار در تاریخ، در دمای اتاق به نور مایع دست یافتند

آموزش نصب سریع کد محاسباتی OpenMX

گرومکس – GROMACS

« اثر زینو » تأیید شد – تا زمانی که به اتم ها نگاه میکنید حرکت نمی کنند

کلاس آنلاین علم اطلاعات کوانتومی 2 (دانشگاه MIT)

چرا زبان پایتون (Python) تا این اندازه محبوب شده ؟

نظریه تابعیت چگالی

معادله ی شرودینگر بس ذره ای

نظریه ی تابعی چگالی

مطالب مرتبط

3 دیدگاه

کانال و گروه تلگرام

شبکه های اجتماعی

گردونه مطالب

مطالب اخیر