کاربرد روش تنگ بست به یک نوار s ناشی از تک تراز اتمی s

اگر همه ی ضرایب b در رابطه 12 این پست صفر باشند به جز ضریب مربوط به یک تک تراز s اتمی، آن گاه رابطه 12 مستقیماً ساختار نواری نوار s متناظر را می دهد.

(1)   \begin{equation*}  \varepsilon (\textbf{k}) = E_s - \frac{\beta + \sum \gamma (\textbf{R}) e^{i \mathbf{k \cdot R}}}{1+\sum \alpha (\textbf{R}) e^{i \mathbf{k \cdot R}}} \end{equation*}

که در آن E_s انرژی تراز اتمی s است و

(2)   \begin{equation*}  \beta = - \int d\textbf{r} \Delta U \left ( \textbf{r} \right ) \left | \phi \left ( \textbf{r} \right ) \right |^2 \end{equation*}

(3)   \begin{equation*}  \alpha (\textbf{R}) = \int d\textbf{r} \phi ^* \left ( \textbf{r} \right ) \phi \left ( \mathbf{r-R} \right ) \end{equation*}

و

(4)   \begin{equation*}  \gamma (\textbf{R}) = \int d\textbf{r} \phi ^* \left ( \textbf{r} \right ) \Delta U \left ( \textbf{r} \right ) \phi \left ( \mathbf{r-R} \right ) \end{equation*}

می توان با توسل به برخی تقارن ها، ضرایب (2) تا (4) را ساده کرد. از آنجا که \phi یک تراز s است. \phi ( \textbf{r}) حقیقی است و فقط به بزرگی r بستگی دارد. این نکته ایجاب می کند که \alpha (\textbf{-R}) = \alpha (\textbf{R}) . همین طور این نکته همراه با وجود تقارن وارونی شبکه ی براوه که ایجاب می کند \Delta U (\textbf{r}) = \Delta U (\textbf{-r}) ، نشان می دهد که \gamma (\textbf{-R}) = \gamma (\textbf{R}) . جملات بر حسب \alpha در مخرج (1) را نادیده میگریم، چون که تنها تصحیح کوچکی در صورت را باعث می شوند. یک ساده سازی نهایی نیز این فرض به دست می آید که انتگرال های همپوشانی فقط در فواصل نزدیک ترین همسایه ها مقدار قابل ملاحظه ای دارند.

با قرار دادن این ملاحضات در کنار هم، می توانیم (1) را به شکل زیر ساده کنیم:

(5)   \begin{equation*}  \varepsilon (\textbf{k}) = E_s - \beta - \sum _{n.n.} \gamma (\textbf{R}) \cos {\mathbf{k \cdot R}} \end{equation*}

که در آن جمع زنی فقط روی آن R هایی در شبکه براوه انجام می شود که مبدأ را به نزدیک ترین همسایگانش وصل می کنند.

برای شفاف شدن مسئله، (5) را در مورد یک بلور مکعبی مرکز سطحی اعمال می کنیم، تعداد 12 همسایه ی نزدیک مبدأ در نقاط زیر اند:

(6)   \begin{equation*}  R = \frac{a}{2} (\pm 1 , \pm 1 , 0), \quad \frac{a}{2} (\pm 1 , 0 ,\pm 1 ), \quad \frac{a}{2} (0 , \pm 1 , \pm 1) \end{equation*}

fcc-coordination-number-nearest-neighbours

شکل 1 دوازده همسایه نزدیک مبدأ در شبکه ی مکعبی مرکز سطحی با یاخته مکعبی قراردادی به ضلع a

اگر \textbf{k}=(k_x,k_y,_kz)، در آن صورت 12 مقدار متناظر k.R عبارت اند از:

(7)   \begin{equation*}  \mathbf{k\cdot R} = \frac{a}{2} (\pm k_i , \pm k_j ), \quad i,j=x,y;y,z;z,x \end{equation*}

اکنون \Delta U (\textbf{r}) = \Delta U (x,y,z) دارای تقارن مکعبی کامل شبکه است، ولذا با جایگشت شناسه هایش و یا تغییر در علامت های آن ها بدون تغییر می ماند. این نکته، همراه با این واقعیت که تابع موج تراز s یعنی \phi (\textbf{r}) تنها به بزرگی r بستگی دارد، ایجاب می کند که \gamma (\textbf{R}) ، برای همه ی 12 بردار (6) برایر یک مقدار ثابت \gamma باشد. لذا، جمع زنی (5) به کمک (7) نتیجه ی زیر را می دهد:

(8)   \begin{equation*}  \begin{aligned} \varepsilon (\textbf{k}) = & E_s - \beta - 4 \gamma ( \cos {\frac {1}{2} k_x a}\cos {\frac {1}{2} k_y a} + \\ & \cos {\frac {1}{2} k_y a}\cos {\frac {1}{2} k_z a} + \cos {\frac {1}{2} k_z a}\cos {\frac {1}{2} k_x a} ) \end{aligned} \end{equation*}

که در آن:

(9)   \begin{equation*}  \gamma = -\int d\textbf{r} \phi ^* (x,y,z) \Delta U (x,y,z) \phi (x-\frac{1}{2}a,y-\frac{1}{2},z) \end{equation*}

معادله ی (8) جنبه ی مشخصه ی نوارهای انرژی تنگ بست را نشان می دهد: عرض نوار (یعنی پهنای بین انرژی های بیشینه و کمینه در نوار) متناسب با انتگرال همپوشانی کوچک \gamma است. بنابراین، نوارهای تنگ بست نوارهای باریکی اند، و هر چه همپوشانی کوچک تر باشد نوار باریک تر است. در حد همپوشانی صفر، پهنای نوار نیز صفر می شود، و نوار تبهگن N گانه می شود که متناظر است با حالت فرینی که در آن الکترون به سادگی روی یکی از N اتم مجزا می ماند. وابستگی پهنای نوار به انتگرال همپوشانی در شکل زیر نشان داده شده است.

electronic-levels

شکل 2 سمت چپ: نمایش طرحوار تراز های الکترونی ناتبهگن در یک پتانسیل اتمی سمت راست: تراز های انرژی برای N تا از این اتم ها در یک آرایه دوره ای، به صورت تابعی از متوسط وارون فاصله ی اتمی بین اتمی رسم شده است. وقتی اتم ها دور از هم اند (انتگرال های همپوشانی کوچک) تراز ها تقریباً تبهگن اند. ولی وقتی اتم ها به هم نزدیک تر می شوند (انتگرال های همپوشانی بزرگتر)، تراز به صورت نوار، پهن می شوند.

معادله ی (8) علاوه بر آن که اثر همپوشانی روی پهنای نوار را نمایش می دهد، چندین جنبه ی عام ساختار نواری یک بلور مکعبی مرکز سطحی را نیز که مختص مورد تنگ بست نیستند، نشان می دهد. اینج جنبه ها نوعاً عبارتند از:

1- در حد ka کوچک، (8) به رابطه ی زیر تقلیل می یابد:

(10)   \begin{equation*}  \varepsilon (\textbf{k}) = & E_s - \beta - 12 \gamma + \gamma k^2 a^2 \end{equation*}

این رابطه مستقل از جهت k است، یعنی سطوح انرژی ثابت در همسایگی k=0 کروی اند.

2- اگر \varepsilon در راستای هر خط عمود بر یکی از وجوه مربعی اولین منطقه ی بریلوئن رسم شود، وجه مربعی را با شیب صفر قطع می کند.

3- اگر \varepsilon در راستای هر خط عمود بر یکی از وجوه شش گوشی اولین منطقه ی بریلوئن رسم شود، عموما نیازی ندارد که وجه را با شیب صفر قطع کند.

2000px-brillouin_zone_1st_fcc

شکل 3 اولین منطقه بریلوئن برای بلورهای مکعبی مرکز سطحی، نقطه \Gamma در مرکز منقطه است. نام های K، L، W و X به طور گسترده، برای نقاط با تقارن بالا در مرز منقطه به کار می روند.

 

 


بنده دانشجوی دکترای فیزیک ماده چگال از دانشگاه تربیت مدرس تهران هستم. حوزه مورد علاقه من فیزیک محاسباتی (به طور خاص نظریه تابعیت چگالی) و همچنین سیستم های توپولوژیک است.


پاسخ دهید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *