Search
سایتی برای معرفی نظریه ها و الگوریتم های محاسباتی
صفحه اصلی روش ها و الگوریتم ها کاربرد روش تنگ بست به یک نوار s ناشی از تک تراز اتمی s

کاربرد روش تنگ بست به یک نوار s ناشی از تک تراز اتمی s

مهر ۱۳, ۱۳۹۵روش ها و الگوریتم ها 0

Like

اگر همه ی ضرایب b در رابطه 12 این پست صفر باشند به جز ضریب مربوط به یک تک تراز s اتمی، آن گاه رابطه 12 مستقیماً ساختار نواری نوار s متناظر را می دهد.

(1)   \begin{equation*} \varepsilon (\textbf{k}) = E_s - \frac{\beta + \sum \gamma (\textbf{R}) e^{i \mathbf{k \cdot R}}}{1+\sum \alpha (\textbf{R}) e^{i \mathbf{k \cdot R}}} \end{equation*}

که در آن E_s انرژی تراز اتمی s است و

(2)   \begin{equation*} \beta = - \int d\textbf{r} \Delta U \left ( \textbf{r} \right ) \left | \phi \left ( \textbf{r} \right ) \right |^2 \end{equation*}

(3)   \begin{equation*} \alpha (\textbf{R}) = \int d\textbf{r} \phi ^* \left ( \textbf{r} \right ) \phi \left ( \mathbf{r-R} \right ) \end{equation*}

و

(4)   \begin{equation*} \gamma (\textbf{R}) = \int d\textbf{r} \phi ^* \left ( \textbf{r} \right ) \Delta U \left ( \textbf{r} \right ) \phi \left ( \mathbf{r-R} \right ) \end{equation*}

می توان با توسل به برخی تقارن ها، ضرایب (2) تا (4) را ساده کرد. از آنجا که \phi یک تراز s است. \phi ( \textbf{r}) حقیقی است و فقط به بزرگی r بستگی دارد. این نکته ایجاب می کند که \alpha (\textbf{-R}) = \alpha (\textbf{R}) . همین طور این نکته همراه با وجود تقارن وارونی شبکه ی براوه که ایجاب می کند \Delta U (\textbf{r}) = \Delta U (\textbf{-r}) ، نشان می دهد که \gamma (\textbf{-R}) = \gamma (\textbf{R}) . جملات بر حسب \alpha در مخرج (1) را نادیده میگریم، چون که تنها تصحیح کوچکی در صورت را باعث می شوند. یک ساده سازی نهایی نیز این فرض به دست می آید که انتگرال های همپوشانی فقط در فواصل نزدیک ترین همسایه ها مقدار قابل ملاحظه ای دارند.

با قرار دادن این ملاحضات در کنار هم، می توانیم (1) را به شکل زیر ساده کنیم:

(5)   \begin{equation*} \varepsilon (\textbf{k}) = E_s - \beta - \sum _{n.n.} \gamma (\textbf{R}) \cos {\mathbf{k \cdot R}} \end{equation*}

که در آن جمع زنی فقط روی آن R هایی در شبکه براوه انجام می شود که مبدأ را به نزدیک ترین همسایگانش وصل می کنند.

برای شفاف شدن مسئله، (5) را در مورد یک بلور مکعبی مرکز سطحی اعمال می کنیم، تعداد 12 همسایه ی نزدیک مبدأ در نقاط زیر اند:

(6)   \begin{equation*} R = \frac{a}{2} (\pm 1 , \pm 1 , 0), \quad \frac{a}{2} (\pm 1 , 0 ,\pm 1 ), \quad \frac{a}{2} (0 , \pm 1 , \pm 1) \end{equation*}

fcc-coordination-number-nearest-neighbours

شکل 1 دوازده همسایه نزدیک مبدأ در شبکه ی مکعبی مرکز سطحی با یاخته مکعبی قراردادی به ضلع a

اگر \textbf{k}=(k_x,k_y,_kz)، در آن صورت 12 مقدار متناظر k.R عبارت اند از:

(7)   \begin{equation*} \mathbf{k\cdot R} = \frac{a}{2} (\pm k_i , \pm k_j ), \quad i,j=x,y;y,z;z,x \end{equation*}

اکنون \Delta U (\textbf{r}) = \Delta U (x,y,z) دارای تقارن مکعبی کامل شبکه است، ولذا با جایگشت شناسه هایش و یا تغییر در علامت های آن ها بدون تغییر می ماند. این نکته، همراه با این واقعیت که تابع موج تراز s یعنی \phi (\textbf{r}) تنها به بزرگی r بستگی دارد، ایجاب می کند که \gamma (\textbf{R}) ، برای همه ی 12 بردار (6) برایر یک مقدار ثابت \gamma باشد. لذا، جمع زنی (5) به کمک (7) نتیجه ی زیر را می دهد:

(8)   \begin{equation*} \begin{aligned} \varepsilon (\textbf{k}) = & E_s - \beta - 4 \gamma ( \cos {\frac {1}{2} k_x a}\cos {\frac {1}{2} k_y a} + \\ & \cos {\frac {1}{2} k_y a}\cos {\frac {1}{2} k_z a} + \cos {\frac {1}{2} k_z a}\cos {\frac {1}{2} k_x a} ) \end{aligned} \end{equation*}

که در آن:

(9)   \begin{equation*} \gamma = -\int d\textbf{r} \phi ^* (x,y,z) \Delta U (x,y,z) \phi (x-\frac{1}{2}a,y-\frac{1}{2},z) \end{equation*}

معادله ی (8) جنبه ی مشخصه ی نوارهای انرژی تنگ بست را نشان می دهد: عرض نوار (یعنی پهنای بین انرژی های بیشینه و کمینه در نوار) متناسب با انتگرال همپوشانی کوچک \gamma است. بنابراین، نوارهای تنگ بست نوارهای باریکی اند، و هر چه همپوشانی کوچک تر باشد نوار باریک تر است. در حد همپوشانی صفر، پهنای نوار نیز صفر می شود، و نوار تبهگن N گانه می شود که متناظر است با حالت فرینی که در آن الکترون به سادگی روی یکی از N اتم مجزا می ماند. وابستگی پهنای نوار به انتگرال همپوشانی در شکل زیر نشان داده شده است.

electronic-levels

شکل 2 سمت چپ: نمایش طرحوار تراز های الکترونی ناتبهگن در یک پتانسیل اتمی سمت راست: تراز های انرژی برای N تا از این اتم ها در یک آرایه دوره ای، به صورت تابعی از متوسط وارون فاصله ی اتمی بین اتمی رسم شده است. وقتی اتم ها دور از هم اند (انتگرال های همپوشانی کوچک) تراز ها تقریباً تبهگن اند. ولی وقتی اتم ها به هم نزدیک تر می شوند (انتگرال های همپوشانی بزرگتر)، تراز به صورت نوار، پهن می شوند.

معادله ی (8) علاوه بر آن که اثر همپوشانی روی پهنای نوار را نمایش می دهد، چندین جنبه ی عام ساختار نواری یک بلور مکعبی مرکز سطحی را نیز که مختص مورد تنگ بست نیستند، نشان می دهد. اینج جنبه ها نوعاً عبارتند از:

1- در حد ka کوچک، (8) به رابطه ی زیر تقلیل می یابد:

(10)   \begin{equation*} \varepsilon (\textbf{k}) = & E_s - \beta - 12 \gamma + \gamma k^2 a^2 \end{equation*}

این رابطه مستقل از جهت k است، یعنی سطوح انرژی ثابت در همسایگی k=0 کروی اند.

2- اگر \varepsilon در راستای هر خط عمود بر یکی از وجوه مربعی اولین منطقه ی بریلوئن رسم شود، وجه مربعی را با شیب صفر قطع می کند.

3- اگر \varepsilon در راستای هر خط عمود بر یکی از وجوه شش گوشی اولین منطقه ی بریلوئن رسم شود، عموما نیازی ندارد که وجه را با شیب صفر قطع کند.

2000px-brillouin_zone_1st_fcc

شکل 3 اولین منطقه بریلوئن برای بلورهای مکعبی مرکز سطحی، نقطه \Gamma در مرکز منقطه است. نام های K، L، W و X به طور گسترده، برای نقاط با تقارن بالا در مرز منقطه به کار می روند.

 

 
TAG
مطلب قبلیتأثیر فاز بری بر نوار های انرژی در جامدات

بنده دانشجوی دکترای فیزیک ماده چگال از دانشگاه تربیت مدرس تهران هستم. حوزه مورد علاقه من فیزیک محاسباتی (به طور خاص نظریه تابعیت چگالی) و همچنین سیستم های توپولوژیک است.

مطالب مرتبط

ضرایب اسلیتر کوستر

شهریور ۲۷, ۱۳۹۶

روش تنگ بست

شهریور ۲۲, ۱۳۹۵

There are no comments yet

  • سلام , مهمان
  • خروج
  • ورود

    Or use one of these social networks

کانال و گروه تلگرام

برای اینکه همیشه در جریان اخبار باشید و از رویدادها جا نمانید، تازه ترین اخبار و آموزش‌ها را در کانال تلگرام فیزیک محاسباتی دنبال کنید. تلگرام برای بحث و گفت و گو پیرامون کدهای محاسباتی و تئوری های مربوطه می توانید عضوگروه تلگرام فیزیک محاسباتی در تلگرام شوید. گروه تلگرام

شبکه های اجتماعی

گردونه مطالب

برندگان جایزه نوبل فیزیک 2017 معرفی شدند

ضرایب اسلیتر کوستر

اثر هال کوانتومی

دانشمندان برای اولین بار در تاریخ، در دمای اتاق به نور مایع دست یافتند

آموزش نصب سریع کد محاسباتی OpenMX

  • سجاد حمره

    نرم افزار Vnl در این زمینه خیلی خوبه. پست آخری که گذاشتم هم در مورد چگونگی بدست آوردن لایس...

  • سجاد حمره

    سلام وقت شما بخیر آموزش خیلی نرم افزار ها توی سایت موجوده. شما دقیقا چی مد نظرتون هست؟...

  • سجاد حمره

    سلام و درود میشه یکم بیشتر توضیح بدید با این توضیحات هیچ حرفی نمیشه زد...

  • ابراهیمی

    با سلام در صورت امکان در مورد اموزش ترم افزار کوانتوم اسپرسو یا دیگر نرم افزارهای فیزیک حا...

مطالب اخیر

اخبار
6

برندگان جایزه نوبل فیزیک 2017 معرفی شدند

مهر ۱۱, ۱۳۹۶

جایزه نوبل فیزیک 2017 به طور مشترک به راینر ویس،بری سی بریش و کیپ اس تورن اعطا شد.  این سه...

This site is protected by wp-copyrightpro.com