جذب و پراکندگی نور از نانوذرات فلزی

نانوذرات از زمان‌های بسیار دور مورد استفاده قرار می‌گرفتهاند. شاید اولین استفاده آن‌ها در لعاب‌های چینی و سرامیک‌های تزیینی سلسله‌های ابتدایی کشور چین بوده‌است. در یک جام رومی موسوم به جام لیکرگوس از نانوذرات طلا استفاده شده‌است تا رنگ‌های متفاوتی از جام بر‌حسب نحوه تابش نور پدید آید. البته علت چنین اثراتی برای سازندگان آن‌ها ناشناخته بوده است[1].

کربن سیاه مشهورترین مثال از نانوذرات است که ده‌ها سال به طور انبوه تولید شده است و در لاستیک‌های اتومبیل به منظور افزایش طول‌عمر آن‌ها به کار رفتهاست و علت رنگ سیاه لاستیک هم، وجود این افزودنی سیاه رنگ است. در سال‌های اخیر پیشرفت‌های بسیار بزرگی در زمینه امکان ساخت نانوذرات از مواد گوناگون و کنترل شدید بر روی اندازه، ترکیب و یکنواختی آنها صورت گرفته‌است.

خواص نانوذرات

با گذر از میکروذرات به نانوذرات با تغییر برخی از خواص فیزیکی و شیمیایی روبرو میشویم که دو مورد مهم آنها عبارتند از: افزایش نسبت سطح به حجم و ورود اندازه ذره به قلمرو آثار کوانتومی. افزایش نسبت سطح به حجم که به تدریج با کاهش اندازه ذره رخ میدهد، باعث غلبه یافتن رفتار اتمهای واقع در سطح ذره به رفتار اتمهای درونی میشود. این پدیده بر خصوصیات ذره در حال انزوا و تعاملات آن با دیگر مواد اثر میگذارد. افزایش سطح واکنشپذیری نانوذرات را به شدت افزایش میدهد، زیرا تعداد مولکولها یا اتمهای موجود در سطح در مقایسه با تعداد اتمها یا مولکولهای موجود در توده نمونه بسیار زیاد است. به عنوان مثال نانوذرات فلزی به محض قرارگیری در معرض هوا، به سرعت اکسید میشوند. البته این خاصیت مزایایی هم در بر دارد. مساحت سطحی زیاد عاملی کلیدی در کارکرد کاتالیزورها و ساختارهایی همچون الکترودها میباشد. به عنوان مثال با استفاده از این خاصیت میتوان کارایی کاتالیزورهای شیمیایی را به نحو موثرتری بهبود بخشید.

علاوه بر این، افزایش سطح ذرات فشار سطحی را کاهش داده و منجر به تغییر فاصله بین ذرات یا فاصله بین اتمهای ذرات میشود. این امر در خواص ترمودینامیکی ماده ( مثل نقطه ذوب) تاثیر گذار است. شکل (1) کاهش دمای ذوب نانوذرات طلا را با کاهش اندازه ذرات نشان میدهد.

np-1

شکل 1: کاهش دمای ذوب نانو ذرات طلا با کاهش اندازه نانو ذرات [2].

به محض اینکه ذرات به اندازه کافی کوچک شوند، شروع به رفتار مکانیک کوانتومی میکنند. خواص نقاط کوانتومی مثالی از این دست است. این نقاط گاهی اتمهای مصنوعی نامیده میشوند. چون الکترون‌های آزاد آنها مشابه الکترونهای محبوس در اتمها، حالات گسسته و مجازی از انرژی را اشغال میکنند [1و2].

2- نانوذرات فلزی

در میان نانوذرات، نانوذرات فلزی به علت ویژگی‌های خاص نوری، الکتریکی، مغناطیسی، دارویی و کاتالیستی از اهمیت ویژه ای برخوردارند [3].

مهمترین ویژگی نانوذرات فلزی ویژگیهای نوری آنهاست که در اندازه تودهای آنها دیده نمیشود. نانوذرات فلزی به طور مشخص نور با فرکانسهای مختلف را، بسته به اندازه، شکل و جنسشان، جذب و پراکنده میکنند. پلاسمونهای سطحی در ذرات کوچک فلزی تهییج میشوند، اما در سطح صاف فلز امکان تهییج پلاسمونهای سطحی به صورت مستقیم وجود ندارد. این پدیده بهترین عامل در مشاهده اثر SERS است [4].

هنگامیکه یک پرتو نوری بر نانوذرات فلزی بتابد، میدان نوسانی موج فرودی موجب نوسان الکترون‌های رسانش فلز به صورت دسته جمعی میشود. این نوسانهای دسته جمعی الکترونهای رسانش، پلاسمون‌های سطحی نامیده می شوند. پلاسمونهای سطحی نانوذرات یکنواخت یک فرکانس تشدید دارند که در آن فرکانس بیشترین جذب و پراکندگی را از خود نشان میدهند. محل فرکانس تشدید در طیف الکترومغناطیسی وابسته به شکل، اندازه و تابع دی‌الکتریک نانوذره فلزی است ]5و6[. طرحواره نوسان پلاسمونی در شکل (2) نشان داده شدهاست.

np-2

شکل 2: طرحواره نوسان پلاسمونی: جابهجایی ابر الکترونی رسانش نسبت به هسته [5].

3- جذب و پراکندگی نور از نانوذرات کروی

در حالت کلی هنگامیکه تابش الکترومغناطیسی با ذره‌ای کوچک به قطر a برهم‌کنش می‌کند همه قسمت‌های ذره لزوما میدان مشابهی را تجربه نمیکنند. اگر قطر ذره مساوی یا بزرگتر از طول موج تابش الکترومغناطیسی باشد آثار تاخیری و تهییج تشدیدهای چندقطبی را باید در نظر گرفت. این پدیده‌ها به طور قابل‌ توجهی پاسخ اپتیکی را پیچیده می‌کنند و برای محاسبه سطح ‌مقطع جذب و پراکندگی حل کامل معادلات ماکسول که توسط می ارائه شده لازم است [7].

اما اگر قطر ذره در مقایسه با طول موج کوچک باشد، میدان آنی که ذره به علت تابش الکترومغناطیس تجربه می‌کند، یکنواخت است. در این حالت تنها اثر بردار الکتریکی را در نظر میگیریم. بنابراین به جای حل معادلات ماکسول با یک مساله الکتروستاتیک برای یک کره دی الکتریک همسانگرد و همگن که در یک میدان یکنواخت قرار گرفته است، مواجه هستیم [7].

3 نظریه پراکندگی رایلی ( تقریب الکترواستاتیک )

یک کره دی‌الکتریک منزوی را با قطر a که در آن (  a<λ) تحت تابش نور قطبیده خطی قرار گرفته است، در نظر می‌گیریم. به علت جابه‌جایی الکترون‌های رسانش نسبت به هسته‌های مثبت، کره در جهت میدان الکتریکی اعمال شده، قطبیده میشود. با استفاده از حل معادله لاپلاس و شرایط مرزی میدان در داخل کره یکنواخت و موازی میدان الکتریکی خارجی است و برابر است با:

(1)   \begin{equation*}  {\vec E_{ins}} = \frac{{3{\varepsilon _m}}}{{\varepsilon \left( \omega  \right) + 2{\varepsilon _m}}}{\vec E_0} \end{equation*}

\varepsilon _m ثابت دی‌الکتریک محیط و \varepsilon \left( \omega  \right) تابع دی‌الکتریک کره است.

خارج از کره میدان شامل دو قسمت است، میدان اولیه E_0 که در نبود کره نیز وجود دارد و میدان پراکنده شده از کره که با میدان ناشی از یک دوقطبی القایی در مرکز کره یکسان است.

دوقطبی القایی برابر است با:

(2)   \begin{equation*}  \vec p = 4\pi {\varepsilon _m}{a^3}\left[ {\frac{{\left( {\varepsilon (\omega ) - {\varepsilon _m}} \right)}}{{\left( {\varepsilon (\omega ) + 2{\varepsilon _m}} \right)}}} \right]{\vec E_0} \end{equation*}

قطبش‌پذیری کره به صورت زیر تعریف می‌شود:

(3)   \begin{equation*}  \alpha  = 4\pi {\varepsilon _m}{a^3}\left[ {\frac{{\left( {\varepsilon (\omega ) - {\varepsilon _m}} \right)}}{{\left( {\varepsilon (\omega ) + 2{\varepsilon _m}} \right)}}} \right] \end{equation*}

اگر میدان ورودی به صورت هارمونیک نوسان کند، دوقطبی القایی نیز به طور همزمان در جهت و فرکانس یکسان با میدان الکتریکی اعمالی نوسان می‌کند.

(4)   \begin{equation*}  \vec P{e^{i\omega t}} = 4\pi {\varepsilon _m}{a^3}\left[ {\frac{{\left( {\varepsilon (\omega ) - {\varepsilon _m}} \right)}}{{\left( {\varepsilon (\omega ) + 2{\varepsilon _m}} \right)}}} \right]{\vec E_o}{e^{i\omega t}} \end{equation*}

جمله نمایی وابستگی زمانی نوسان را توصیف میکند. بنابراین ذره کروی به عنوان یک دوقطبی القایی عمل میکند و میدان دوم یا پراکنده شده را در همه جهات تابش می‌کند [7].

شدت موج پراکنده شده در فاصله r از مرکز کره برابر است با:

(5)   \begin{equation*}  I = \frac{{16{\pi ^4}{a^6}}}{{{r^2}}}{\left[ {\frac{{\left( {\varepsilon (\omega ) - {\varepsilon _m}} \right)}}{{\left( {\varepsilon (\omega ) + 2{\varepsilon _m}} \right)}}} \right]^2}{\sin ^2}\psi \end{equation*}

ψ زاویه بین جهت پراکندگی و ممان دوقطبی القایی می‌باشد [7].

سطح‌مقطع پراکندگی کل را می‌توان به سادگی با انتگرال‌گیری از معادله (5) بر روی سطح یک کره به دست آورد.

(6)   \begin{equation*}  {\sigma _{sca}} = \frac{{128{\pi ^5}{a^6}}}{{3{\lambda ^2}}}{\left( {\frac{{\varepsilon \left( \omega  \right) - {\varepsilon _m}}}{{\varepsilon \left( \omega  \right) + 2{\varepsilon _m}}}} \right)^2} \end{equation*}

سطح مقطع جذب به صورت فیزیکی تولید گرما در ماده به علت برهم‌کنش با تابش ورودی را توصیف می‌کند. برای مواد با تابع دی‌الکتریک مختلط، سطح مقطع جذب برابر است با:

(7)   \begin{equation*}  {\sigma _{abs}} = \frac{{8{\pi ^2}{a^3}}}{\lambda }{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {\frac{{\varepsilon \left( \omega  \right) - {\varepsilon _m}}}{{\varepsilon \left( \omega  \right) + 2{\varepsilon _m}}}} \right) \end{equation*}

برای همه مواد دوقطبی القایی، شدت میدان پراکنده و جذب شده یک رفتار تشدیدی در طول موجی که در رابطه زیر صدق می کند از خود نشان می‌دهد:

(8)   \begin{equation*}  \left| {\varepsilon \left( \omega  \right) + 2{\varepsilon _m}} \right| = \min \end{equation*}

برای رسیدن به رفتار تشدیدی قسمت حقیقی تابع دی‌الکتریک باید در شرط زیر صدق کند.

(9)   \begin{equation*}  \begin{array}{l} \varepsilon (\omega ) = {\varepsilon _1}(\omega ) + i{\varepsilon _2}(\omega )\\ {\varepsilon _1}(\omega ) = - 2{\varepsilon _m} \end{array} \end{equation*}

همچنین باید قسمت موهومی کوچک باشد [7و8].

2-3 نظریه پراکندگی می

در سال 1908 می معادلات ماکسول را برای محلول رقیق کلوییدی حل کرد. برای ساده‌سازی، می فرض کرد که ذرات هم‌اندازه باشند و محلول آنقدر رقیق باشد که بتوان برهم‌کنش بین ذرات مختلف پراکننده را نادیده گرفت. علاوه براین می فرض کرد که انرژی کل پراکنده شده برابر با مجموع انرژی‌های پراکنده شده ناشی از تک‌تک ذرات باشد ]9[. در ابتدا، معادلات ماکسول که انتشار امواج در محیط دی‌الکتریک را توصیف می‌کند به این صورت در نظر گرفته می‌شود:

(10)   \begin{equation*}  \nabla .\vec D = \rho \ \end{equation*}

(11)   \begin{equation*}  \nabla .\vec B = 0\ \end{equation*}

(12)   \begin{equation*}  \nabla  \times \vec H = \frac{{\partial \vec D}}{{\partial t}} + \vec J \end{equation*}

(13)   \begin{equation*}  \nabla  \times \vec E =  - \frac{{\partial \vec B}}{{\partial t}} \end{equation*}

E،H به ترتیب میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی و  B،D به ترتیب القاهای مغناطیسی و الکتریکی هستند.ρ و J نیز چگالی بار و جریان آزاد هستند. فرض می‌کنیم میدان الکترومغناطیسی که با ذرات فلزی برخورد می‌کند به صورت:

(14)   \begin{equation*}  \vec E = {\vec E_0}{e^{i(kz - \omega t)}} \end{equation*}

یعنی به شکل موج تختی باشد که در راستای z انتشار می‌یابد.

با استفاده از قضیه دیورژانس برای معادلات (10) و (11) داریم :

(15)   \begin{equation*}  \oint {\vec D.\vec nd{A_r}}  = \int\limits_v {\rho {d^3}} x \end{equation*}

(16)   \begin{equation*}  \oint {\vec B.\vec nd{A_r}}  = 0 \end{equation*}

n بردار عمود بر سطح ذره به طرف بیرون و dA دیفرانسیل سطح است. در نانوذرات فلزی بار در سطح ذره جایگزیده می‌شود و در این صورت طبق روابط (15) و (16) شرایط مرزی مناسب برای مولفه‌های عمودی میدان‌ها بین ذره (1) و محیط (2) عبارت است از:

(17)   \begin{equation*}  \left( {{{\vec D}_2} - {{\vec D}_1}} \right).\vec n = \sigma \end{equation*}

(18)   \begin{equation*}  \left( {{{\vec H}_2} - {{\vec H}_1}} \right).\vec n = \vec K \end{equation*}

در عبارت‌های بالا σ چگالی بار سطحی و \vec K چگالی جریان سطحی است.

شرایط مرزی مناسب برای مولفه‌های عمودی میدان‌ها بین ذره (1) و محیط (2) عبارت است از:

(19)   \begin{equation*}  \vec n \times \left( {{{\vec E}_2} - {{\vec E}_1}} \right) = 0 \end{equation*}

(20)   \begin{equation*}  \vec n \times \left( {{{\vec H}_2} - {{\vec H}_1}} \right) = 0 \end{equation*}

حال میدان پراکنده شده توسط ذره‌ای با شعاع a و بار سطحی Q را در یک محیط غیر جاذب به دست می‌آوریم. طرحوارهای از سامانه مورد‌نظر در شکل (3) آورده شده است.

np-3

شکل 3 تصویری از سامانه مورد‌نظر برای به دست آوردن میدان پراکنده شده از ذرات [9].

میدان در محیطی که نانوذرات در آن قرار دارند در واقع برهمنهی میدان فرودی و میدان پراکنده شده از نانوذرات است. در این صورت برای میدان در داخل محیط داریم:

(21)   \begin{equation*}  {\vec E_2} = {\vec E_i} + {\vec E_s} \end{equation*}

(22)   \begin{equation*}  {\vec H_2} = {\vec H_i} + {\vec H_s} \end{equation*}

در فصل مشترک، مولفه‌های مماسی میدان‌ها باید پیوسته باشد و مولفه‌های عمودی نیز به چگالی بار سطحی مربوط می‌شود. جواب ریاضی با حل معادلات ماکسول و استفاده از شرایط مرزی فوق به دست می‌آید. برای این منظور کرل دوطرف معادله (13) را حساب می‌کنیم و داریم:

(23)   \begin{equation*}  \nabla  \times \left( {\nabla  \times \vec E} \right) =  - \frac{\partial }{{\partial t}}\left( {\nabla  \times \vec B} \right)\ \end{equation*}

همچنین با توجه به روابط زیر:

(24)   \begin{equation*}  \vec B = \mu \vec H \end{equation*}

(25)   \begin{equation*}  \nabla  \times \left( {\nabla  \times \vec E} \right) = \nabla \left( {\nabla .\vec E} \right) - {\nabla ^2}\vec E \end{equation*}

امواج تخت وابسته به زمان باید معادله موجی را که از معادله (25) به دست می‌‌آید ارضا کنند:

(26)   \begin{equation*}  {\nabla ^2}\vec E + {k^2}\vec E = 0 \end{equation*}

(27)   \begin{equation*}  {\nabla ^2}\vec H + {k^2}\vec H = 0 \end{equation*}

در روابط بالا k عدد موج است.

با در نظر گرفتن روابط زیر برای میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی:

(28)   \begin{equation*}  \nabla .\vec E = 0 \end{equation*}

(29)   \begin{equation*}  \nabla .\vec B = 0\ \end{equation*}

واضح است که میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی مستقل نیستند:

(30)   \begin{equation*}  \nabla  \times \vec E = i\omega \mu \vec H \end{equation*}

(31)   \begin{equation*}  \nabla  \times \vec H =  - i\omega \varepsilon \vec E \end{equation*}

در ادامه معادلات (26) تا (31) را حل می‌کنیم. برای سهولت از سامانه مختصات کروی استفاده می‌کنیم. وقتی موج الکترومغناطیسی تخت به نانوذرات برخورد کند، بخشی از آن داخل ذره شده و بخشی دیگر پراکنده می‌شود. با توجه به استفاده از تقارن کروی مساله، جواب‌های معادله موج را می‌توان به صورت یک سری نامتناهی از توابع هماهنگ برداری نشان داد. اگر این توابع را با {\vec M_n} و {\vec N_n} به این صورت نشان دهیم، داریم:

(32)   \begin{equation*}  {\vec M_n} = \nabla  \times \left( {\vec r{\psi _n}} \right) \end{equation*}

(33)   \begin{equation*}  {\vec N_n} = \nabla  \times {\vec M_n} \end{equation*}

که در عبارات بالا تابع نرده‌ای \psi \left( {r,\theta ,\varphi } \right) جواب معادله نرده‌ای موج است:

(34)   \begin{equation*}  {\nabla ^2}{\psi _n} + {k^2}{\psi _n} = 0 \end{equation*}

تابع نرده‌ای \psi \left( {r,\theta ,\varphi } \right) را می‌توان به صورت حاصل‌ضرب R\left( r \right))، \Theta \left( \theta  \right)، \Phi \left( \varphi  \right) نوشت که این توابع جواب‌های معادلات دیفرانسیل معمولی زیر هستند:

(35)   \begin{equation*}  [\frac{{{d^2}\left( {rR} \right)}}{{d{r^2}}} + \left( {{k^2} - \frac{\alpha }{{{r^2}}}} \right)rR = 0 \end{equation*}

(36)   \begin{equation*}  \frac{1}{{{{\sin }^2}\theta }}\frac{d}{{d\theta }}\left( {\sin \theta \frac{{d\Theta }}{{d\theta }}} \right) + \left( {\alpha  - \frac{\beta }{{{{\sin }^2}\theta }}} \right)\Theta  = 0 \end{equation*}

(37)   \begin{equation*}  \frac{{{d^2}\Phi }}{{{d^2}\varphi }} + \beta \Theta  = 0 \end{equation*}

α و β ثابت‌های انتگرال هستند. توابع نهایی مناسب برای معادلات موج عبارتند از:

(38)   \begin{equation*}  {\psi _{on}}^{\left( 1 \right)} = \sin \varphi {P_n}^1\left( {\cos \theta } \right){j_n}\left( {{k_m}r} \right) \end{equation*}

(39)   \begin{equation*}  {\psi _{en}}^{\left( 1 \right)} = \cos \varphi {P_n}^1\left( {\cos \theta } \right){j_n}\left( {{k_m}r} \right) \end{equation*}

در عبارات بالا {P_n}^1\left( {\cos \theta } \right) جواب چند‌جمله‌ای لژاندر و {j_n}\left( {{k_m}r} \right) تابع بسل نوع اول مرتبه n می‌باشند. با استفاده از معادلات(36) و (37) و ساخت توابع N_{en}، N_{on}، M_{en}، M_{on} و بااستفاده از بسط تابع موج الکترومغناطیسی ورودی برحسب این توابع، برای موج ورودی داریم:

(40)   \begin{equation*}  {\vec E_i} = \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{i^n}} \frac{{2n + 1}}{{n\left( {n + 1} \right)}}{E_0}\left[ {\vec M_{on}^{\left( 1 \right)} - i\vec N_{en}^{\left( 1 \right)}} \right] \end{equation*}

(41)   \begin{equation*}  {\vec H_i} =  - \left( {\frac{{{k_m}}}{{{\mu _m}\omega }}} \right)\sum\limits_{n = 1}^\infty  {{i^n}} \frac{{2n + 1}}{{n\left( {n + 1} \right)}}{E_0}\left[ {\vec M_{en}^{\left( 1 \right)} + i\vec N_{on}^{\left( 1 \right)}} \right] \end{equation*}

برای میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی در داخل ذرات داریم:

(42)   \begin{equation*}  {\vec E_1} = \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{i^n}} \frac{{2n + 1}}{{n\left( {n + 1} \right)}}{E_0}\left[ {{c_n}\vec M_{on}^{\left( 1 \right)} - i{d_n}\vec N_{en}^{\left( 1 \right)}} \right] \end{equation*}

(43)   \begin{equation*}  {\vec H_1} =  - \left( {\frac{{{k_m}}}{{{\mu _m}\omega }}} \right)\sum\limits_{n = 1}^\infty  {{i^n}} \frac{{2n + 1}}{{n\left( {n + 1} \right)}}{E_0}\left[ {{d_n}\vec M_{en}^{\left( 1 \right)} + i{c_n}\vec N_{on}^{\left( 1 \right)}} \right] \end{equation*}

برای میدان‌های پراکنده شده توابع مناسب برای بسط جواب‌ها عبارتند از:

(44)   \begin{equation*}  \psi _{on}^{\left( 3 \right)} = \sin \varphi P_n^1\left( {\cos \theta } \right)h_n^{\left( 1 \right)}\left( {{k_m}r} \right) \end{equation*}

(45)   \begin{equation*}  \psi _{en}^{\left( 3 \right)} = \cos \varphi P_n^1\left( {\cos \theta } \right)h_n^{\left( 1 \right)}\left( {{k_m}r} \right) \end{equation*}

h_n^{\left( 1 \right)}\left( {{k_m}r} \right) توابع هنکل کروی نوع اول مرتبه n می‌باشند. با استفاده از روابط فوق سرانجام مولفه‌های میدان الکترومغناطیسی پراکنده شده را می‌توان به صورت زیر بسط داد:

(46)   \begin{equation*}  {\vec E_s} = \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{i^n}} \frac{{2n + 1}}{{n\left( {n + 1} \right)}}{E_0}\left[ {a{}_n\vec M_{on}^{\left( 3 \right)} - i{b_n}\vec N_{en}^{\left( 3 \right)}} \right] \end{equation*}

(47)   \begin{equation*}  {\vec H_s} =  - \left( {\frac{{{k_m}}}{{{\mu _m}\omega }}} \right)\sum\limits_{n = 1}^\infty  {{i^n}} \frac{{2n + 1}}{{n\left( {n + 1} \right)}}{E_0}\left[ {{b_n}\vec M_{en}^{\left( 3 \right)} + i{a_n}\vec N_{on}^{\left( 3 \right)}} \right] \end{equation*}

 d_n، c_n، b_n، a_n ضرایب مختلط بسط می‌باشند. با استفاده از هماهنگ‌های برداری ضرایب پراکندگی عبارتند از:

(48)   \begin{equation*}  {a_n} = \frac{{m{\psi _n}\left( {mx} \right){{\psi '}_n}\left( x \right) - {\psi _n}\left( x \right){{\psi '}_n}\left( {mx} \right)}}{{m{\psi _n}\left( {mx} \right){{\xi '}_n}\left( x \right) - {\xi _n}\left( x \right){{\psi '}_n}\left( {mx} \right)}} \end{equation*}

(49)   \begin{equation*}  {b_n} = \frac{{{\psi _n}\left( {mx} \right){{\psi '}_n}\left( x \right) - m{\psi _n}\left( x \right){{\psi '}_n}\left( {mx} \right)}}{{{\psi _n}\left( {mx} \right){{\xi '}_n}\left( x \right) - m{\xi _n}\left( x \right){{\psi '}_n}\left( {mx} \right)}} \end{equation*}

در عبارات بالا \xi _n، m، x، \psi _n به ترتیب عبارتند از:

(50)   \begin{equation*}  {\psi _n}\left( \rho  \right) = \rho {j_n}\left( \rho  \right) \end{equation*}

(51)   \begin{equation*}  {\xi _n}\left( x \right) = \rho h_n^{\left( 1 \right)}\left( \rho  \right) \end{equation*}

(52)   \begin{equation*}  m = \frac{k}{{{k_m}}} \end{equation*}

(53)   \begin{equation*}  x = {k_m}a \end{equation*}

در عبارات بالا a شعاع ذره و k_n عدد موج محیط است. در آزمایش‌ها اغلب به جای جذب، کمیت دیگری به نام خاموشی اندازه‌گیری می‌شود که تعریف آن عبارت است از:

(54)   \begin{equation*}  {W_{ext}} = {W_{abs}} + {W_{sca}} \end{equation*}

در نهایت با استفاده از معادلات بالا و محاسبات جبری، نتایج زیر برای انرژی کل پراکنده شده و مجموع پراکندگی و جذب به دست می‌آید:

(55)   \begin{equation*}  {W_{ext}} = \frac{1}{2}{\mathop{\rm Re}\nolimits} \int\limits_0^{2\pi } {\int\limits_0^\pi  {\left( {{E_{i\varphi }}H_{s\theta }^* - {E_{i\theta }}H_{s\varphi }^* - {E_{s\theta }}H_{i\varphi }^* + {E_{s\varphi }}H_{i\theta }^*} \right)} } {r^2}\sin \theta d\theta d\varphi \end{equation*}

(56)   \begin{equation*}  {W_{sca}} = \frac{1}{2}{\mathop{\rm Re}\nolimits} \int\limits_0^{2\pi } {\int\limits_0^\pi  {\left( {{E_{s\theta }}H_{s\varphi }^* - {E_{s\varphi }}H_{s\theta }^*} \right)} } {r^2}\sin \theta d\theta d\varphi \end{equation*}

در واقع روابط بالا آهنگ پراکندگی Wsca و خاموشی Wext را به دست می‌دهند، و سطح‌مقطع پراکندگی و خاموشی عبارتند از [9]:

(57)   \begin{equation*}  {\sigma _{sca}} = \frac{{{W_s}}}{{{I_s}}} = \frac{{2\pi }}{{{k^2}}}\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\left( {2n + 1} \right)\left[ {a_n^2 + b_n^2} \right]} \end{equation*}

(58)   \begin{equation*}  {\sigma _{ext}} = \frac{{{W_{ext}}}}{{{I_s}}} = \frac{{2\pi }}{{{k^2}}}\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\left( {2n + 1} \right){\mathop{\rm Re}\nolimits} \left[ {{a_n} + {b_n}} \right]} \end{equation*}

3-3 نتایج محاسبات می

یکی از دلایلی که نظریه می تاکنون مورد توجه قرار گرفته است این است که تنها راه ساده و دقیق حل معادلات ماکسول برای ذرات کروی است. علاوه بر این بیشتر کلوئیدهای فلزی شامل نانوذرات کروی هستند [5]. سه ویژگی مهم جذب و پراکندگی نور از نانوذرات فلزی را میتوان به صورت زیر خلاصه کرد [11]:

  1. سطح مقطع پراکندگی (\sigma_ sca) و سطح مقطع جذب (\sigma_ abs) به علت تشدید پلاسمونی سطحی در یک طول موج معین بیشینه میشوند. محدوده طیفی بیشینه به ویژگیهای نوری فلز وابسته است.
  2. سطح مقطع پراکندگی و جذب به شدت به اندازه ذرات وابسته است. در تقریب الکترواستاتیک (شعاع کره کوچکتر از 20 نانومتر) سطح مقطع جذب بزرگتر از سطح مقطع پراکندگی است، شکل(4).

np-4

شکل 4: نتایج حاصل از محاسبات می [10].

  1. طول موج جذب و پراکندگی بیشینه به ضریب شکست محیط وابسته است. همچنین شدت جذب پلاسمونی نیز تحت تاثیر محیط اطراف ذره است. تاثیر محیط بر جذب پلاسمونی نانوذرات برای کره طلا به شعاع 30 نانومتر که در دو محیط با ضریب شکست 1 و 1/5 قرارگرفته، درشکل (5) نشان داده شده است.

np-5

شکل 5:نتایج حاصل از محاسبات می [10].

مراجع

[1]. F. Y. Lee, K. H. Fung, T. L. Tang, W. Y. Tam, C. T. Chan, Current. Applied. Physics, 9 (2009) 820-825.
[2]. S. Cruz, Physical Properties Investigation of Nanostructure Material and Their Applications, University of California, PhD thesis, (2007).
[3]. Q. Zeng, X. Jiang, A. Yu, G. Lu, Nanothecnology, 18 (2007) 035708.
[4]. P. Sarkar, D. Kumar, H. Bar, G. P. Sahoo, S. P. De, A. Misra, Journal of Luminescence, 129 (2009) 704-709.
[5]. K. L. Kelly, E. Coronado, L. L. Zhao, G. C. Schatz, J. Phys. Chem. B, 107 (2003) 668-677.
[6]. M. K. Kinnan, Fabrication and Optical Properties of Noble Metal Nanostructures, Clemson University, PhD thesis, (2008).
[7]. A. M. Michaels, Surface-Enhanced Raman Spectroscopy at The Single Molecule Level, Columbia University, PhD thesis, (2000).
[8]. M. Kerker, The scattering of light and other electromagnetic radiation, Academic Press, New York 1969.
[9]. C. F. Bohren and D. R. Hiffman, Absorption and scattering of light by small particles, John Wiley, New York 1983.
[10]. R, Aroca, Surface enhanced vibrational spectroscopy, John Wiley, England 2006.

 


بنده دانشجوی دکترای فیزیک ماده چگال از دانشگاه تربیت مدرس تهران هستم. حوزه مورد علاقه من فیزیک محاسباتی (به طور خاص نظریه تابعیت چگالی) و همچنین سیستم های توپولوژیک است.


2 دیدگاه

  • سلام , مهمان
  • خروج
  • ورود

    Or use one of these social networks

  • با سلام و تشکر از مقاله مفید شما سوال من در مورد این نکته هست که پراکندگی از نانوذرات کروی مثل سیلیکون با توجه به دی الکتریک بودن ماده سیلیکون به چه عواملی وابسته است. ب تشکر
  • با سلام و تشکر از مقاله مفیدتون. من یک سوال داشتن -این پارامتر جذب که در نانو ذرات بیان شد اگه فقط به معنی تولید گرما و تلفات است چرا از این نانو ذرات در سلولهای خورشیدی به عنوان محیط جذب کننده نور استفاده میشه

This site is protected by wp-copyrightpro.com