انتگرال گيري در ناحيه اول بريلوئن

در نظريه تابعي چگالي استخراج خواص يك سيستم منوط به حل خود سازگار معادلات كوهن شم است . براي حل اين معادلات ما معمولاً با انتگرال هايي از نوع \int\limits_{1BZ} {f(\underline k )d\underline k } روبرو مي شويم كه f(\underline k ) يك تابع تناوبي با دوره تناوب مساوي بردار انتقال شبكه است يعني f(\underline k ) = f(\underline k  + \underline G ) .
براي محاسبه اين گونه انتگرال ها نكاتي را بايستي رعايت كرد كه در دقت و سرعت محاسبات بسيار مهم است و در ادامه به آنها خواهيم پرداخت . ليكن قبل از آن معادله كوهن شم و نحوه پيدايش توابع تناوبي  f(\underline k )را مرور مي كنيم .
معادله تك ذره كوهن شم به صورت زير است :

    \[\left[ {\;\frac{{ - {\hbar ^2}}}{{2m}}{\nabla ^2} + {V_{eff}}(\underline r ) - {\varepsilon _i}\;} \right]\;{\psi _i}(\underline r )\; = \;0\]

N: تعداد كل الكترون ها

    \[\begin{array}{l} {V_{eff}}(\underline r )\, = \,V(\mathop {\underline r )\;}\limits^{ion} + \;\frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\int {\,\frac{{\rho (\underline {{r^1}} )d{{\underline r }^1}}}{{\left| {\underline r - {{\underline r }^1}} \right|}}\, + \,\frac{{\delta \,Exc\left[ \rho \right]}}{{\delta \,\rho (\underline r )}}} \\ \rho (\underline r )\, = \,\sum\limits_{i = 1}^N {\,{{\left| {{\psi _i}(\underline r )} \right|}^2}} \end{array}\]

{\Psi _i}(\underline r ) : تابع موج تك الكتروني
\rho : چگالي كل الكترونها

با اعمال قضيه بلوخ كه ناشي از تناوبي بودن بلور است انديس به دو انديس (شماره نوار ) و (بردار موج در ناحيه اول بريلوئن ) تبديل مي شود يعني :

    \[i \to n,\underline k \]

چگالي ابر الكتروني با رابطه زير مشخص خواهد شد :

    \[\rho (\underline r )\; = \;\frac{\Omega }{{{{(2\pi )}^3}}}\;\int\limits_{1BZ} {\;{\rho _{\underline k }}(\underline r )\,d\underline k } \]

\Omega :حجم ياخته بسيط
كه در آن :

    \[\begin{array}{l} {\rho _{\underline k }}(\underline r )\, = \,\sum\limits_n^{occ} {\;{{\left| {\,{\psi _{n,\underline k }}(\underline r )\,} \right|}^2}} \\ {\rho _{\underline k + \underline G }}(\underline r )\, = \,{\rho _{\underline k }}(\underline r ) \end{array}\]

بنابراين ملاحظه مي شود كه \rho (\underline r ) از يك طرف يك كميت محوري است و پتانسيل هارتري V_H و پتانسيل تبادلي همبستگي V_{xc} هر دو به اين كميت بستگي دارند و از طرف ديگر براي محاسبه اين كميت نياز به محاسبه انتگرال از يك تابع تناوبي در ناحيه اول بريلوئن داريم .
براي آن كه اهميت انتگرال گيري در ناحيه اول بريلوئن روشن تر شود از زاويه ديگري به اين موضوع مي نگريم . مي دانيم در يك بلور تعداد نقاط شبكه ( تعداد سلول هاي واحد ) مساوي تعداد نقاط k در ناحيه اول بريلوئن است . لذا اگر بخواهيم ميانگين يك كميت را به ازاء هر سلول واحد در فضاي معمولي ( فضاي r ) محاسبه كنيم ( فرضاً ميانگين انرژي به ازاء هر ياخته بسيط ) بايستي از آن كميت به ازاء يك مجاز ميانگين گيري كنيم . فرضاً يك كميت نظير f(\underline k ) را در نظر بگيريد ميانگين آن به ازاء هر سلول واحد عبارت است از :

    \[\overline f \, = \,\frac{1}{{{N_{\underline k }}}}\,\sum\limits_{\underline k } {\;f(\underline k )\;}  \Rightarrow \;\rho (\underline r )\, = \,\frac{1}{{{N_{\underline k }}}}\;\sum\limits_{\underline k } {\;{\rho _{\underline k }}(\underline r )} \]

{N_{\underline k }} تعداد كل k ها در ناحيه اول بريلوئن است . حال مي توان رابطه اخير را به صورت انتگرال زير نيز نوشت :

    \[\overline f  = \frac{1}{{{\Omega _{BZ}}}}\;\int\limits_{1BZ} {\,f(\underline k )d\underline k } \; = \;\frac{{{\Omega _{cell}}}}{{{{(2\pi )}^d}}}\;\int\limits_{1BZ} {\,f(\underline k )d\underline k } \]

\Omega _{BZ} : حجم ناحيه اول بريلوئن

به اين ترتيب ديده مي شود كه ما براي محاسبه بسياري از خواص بلور با انتگرال هايي در ناحيه اول بريلوئن سر و كار داريم. در ادامه به نكاتي كه براي محاسبه اينگونه انتگرال ها بايستي رعايت شود مي پردازيم . براي محاسبه اين گونه انتگرال ها سه نكته بايستي رعايت شوند كه عبارت اند از :

  • انتگرال گيري در ناحيه كاهش ناپذير بريلوئن Irreducible Brillioun Zone = IBZ
  • سلول بندي ( مش بندي ) مناسب فضاي فوريه
  • انتخاب مناسب نقاط ويژه k يعني k Point sampling

حال به توضيح هر يك مي پردازيم :

1- ناحيه كاهش ناپذير بريلوئن

تقارن موجود در بلور موجب آن ميشود كه به جاي انتگرال گيري در كل ناحيه اول بريلوئن ما فقط در بخش كوچكي از اين ناحيه انتگرال بگيريم . به عبارت ديگر IBZ بخشي از ناحيه اول بريلوئن است كه حاوي تمامي اطلاعات سيستم است . بديهي است كه هر چه تقارن بلور بيشتر باشد IBZ بخش كوچكتري از BZ را در بر ميگيرد فرضاً در يك بلور مكعبي ساده داريم :

    \[\frac{{IBZ}}{{BZ}} = \frac{1}{{48}}\]

چرا IBZ حاوي تمامي اطلاعات موجود در BZ است ؟
براي پاسخ به اين سوال يك عملگر تقارني بلور نظير R را در نظر مي گيريم . R عملگري است كه با اعمال آن بلور به حالت اوليه بر مي گردد.
اين عملگر با هاميلتوني \hat H بلور طبق رابطه زير مرتبط است :

    \[\underline R \hat H\; = \;\hat H\underline R \quad  \Rightarrow \quad \left[ {\underline R ,\hat H} \right]\; = \;0\]

    \[\begin{array}{l} {\rm{if : }}H{\psi _1}\; = \;{E_1}{\psi _1}\quad \Rightarrow \quad \underline R \,(H{\psi _1})\; = \;\underline R \,({E_1}{\psi _1})\\ \Rightarrow \quad H\,(\underline R {\psi _1})\; = \;{E_1}\,(\underline R {\psi _1}) \end{array}\]

بنابراين \underline R {\psi _1} نيز ويژه تابع مربوط به هاميلتوني \hat H با همان ويژه مقدار {E_1} است . اين بدان معناست كه اگر اطلاعات نقطه1 در 1BZ يعني {E_1} و {\psi _1} را داشته باشيم اطلاعات نقطه 2 يعني \underline R {\psi _1} و {E_1} نيز معلوم هستند .

shape1

بنابراين نتيجه آن ميشود كه :

    \[\sum\limits_{BZ} {\;f(\underline K )\quad  = \quad \sum\limits_{IBZ} {\;W(\underline K )f(\underline K )} } \]

W : تابع وزن

يعني جمع ( انتگرال گيري )‌ فقط به روي ناحيه كاهش ناپذير بريلوئن انجام مي گيرد ليكن براي هر نقطه لازم است وزن مناسبي در نظر گرفته شود .

2- سلول بندي ( مش بندي ) مناسب

براي محاسبه عددي يك انتگرال در عمل آن را به جمع \sum {} تبديل مي كنيم و مي نويسيم :

    \[\int\limits_{IBZ} {....d\underline k \quad  \to \quad \sum\limits_{IBZ} {} } \]

و براي محاسبه \sum {} ناحيه اول بريلوئن و يا بخش كاهش يافته آن را به ياخته هاي كوچك و مساوي تقسيم بندي مي كنيم و حاصل عبارت مربوطه را در درون هر يك از اين ياخته ها محاسبه مي كنيم . نكته اي كه بايستي در اين مرحله رعايت شود آن است كه مش بندي مناسب بايد به گونه اي انتخاب شود كه نقطه مبداء يعني \Gamma (G = 0) جزء نقاط انتخابي نباشد. اين كار باعث مي شود كه به تعداد نقاطk كمتري نياز باشد . در شكل زير دو مش بندي با توزيع يكسان را با هم مقايسه مي كنيم كه تنها تفاوت آنها در آن است كه در يك حالت ( الف ) نقطه نيز جزء نقاط k انتخابي است و در حالت دوم ( ب ) چنين نيست .

shape2

در اين حالت 6 نقطه غير معادل درون IBZ داريم. لذا تعداد k ها در ناحيه IBZ مساوي 6 است .
حال اگر همين مش بندي را به كار گيريم ليكن آن را قدري انتقال دهيم بگونه اي كه مبداء \Gamma جزء نقاط k انتخابي نباشد شكل زير حاصل مي شود:

shape3

در اين حالت تنها سه نقطه غير معادل درون IBZ داريم و به اين ترتيب حجم محاسبات كاهش مي يابد.

بنابر اين اگر سلول بندي به گونه اي انجام گيرد كه مبداء فضا ء k (نقطه \Gamma) را شامل نشود حجم محاسبات كمتر خواهد شد .

3- نقاط ويژه k {\rm{(k Point sampling)}}
گفتيم كه براي استخراج بسياري از خواص بلور نظير چگالي و انرژي نياز به محاسبه انتگرال توابع تناوبي نظير f(\underline k ) = f(\underline k  + \underline G ) در سر تا سر ناحيه اول بريلوئن ( و يا در عمل در IBZ ) داريم كه به صورت زير است :

    \[\overline f \; = \;\frac{{{\Omega _{cell}}}}{{{{(2\pi )}^d}}}\;\int\limits_{BZ} {d\underline k f(\underline k )\; = \;\frac{1}{{{\Omega _{BZ}}}}\;\int\limits_{BZ} {d\underline k f\underline k \; = \;\frac{1}{{{N_k}}}\;\sum\limits_{\underline k } {f(\underline k )} } } \]

{\Omega _{BZ}} :حجم ياخته بسيط در فضاي k
{N_k} : تعداد نقاط k
{\Omega _{cell}} : حجم ياخته بسيط در فضاي r
d : تعداد ابعاد بلور
\overline f : ميانگين f به ازاء هر k و يا معادل آن ميانگين f به ازاء هر ياخته بسيط در فضاي معمولي

واقعيت آن است كه مي توان انتگرال اخير را به جاي آن كه در كل BZ محاسبه نماييم تنها به ازاء چند k خاص محاسبه و با تقريب خوبي همان \overline f را بدست آوريم. ذيلاً با مثال هايي موضوع را توضيح مي دهيم .فرض كنيد هدف محاسبه انتگرال زير باشد:

    \[{I_1}\; = \;\int\limits_0^{2\Pi } {dk\;} Sin{\mkern 1mu} (k)\; = \;Cos{\mkern 1mu} k\left| {\begin{array}{*{20}{l}} {2\pi }\\ 0 \end{array}} \right.{\mkern 1mu} = {\mkern 1mu} Cos(2\pi ) - Cos(0)\; = \;1 - 1\; = \;0\]

بنابراين با محاسبه دقيق جواب اين انتگرال I_1=0 حاصل مي شود.
حال مي توان همين جواب I_1=0 را به طريق ديگري نيز بدست آورد و آن اين است كه مقدار انتگراند (عبارت زير علامت انتگرال ) را به ازاء يك k ميانگين k = \pi محاسبه نماييم :

    \[{f_1}(k)\; = \;Sin(k)\quad \Rightarrow \quad Sin(k)\;\left| \begin{array}{l} \\ k = \pi \end{array} \right.\; = \;0\]

مثال ديگر محاسبه انتگرال زير است:

    \[{I_2}\; = \;\int\limits_0^{2\Pi } {\,dk\left[ {\,{A_1}\;Sin(k) + {A_2}\;Sin(2k)\,} \right]} \; = \;\int\limits_0^{2\Pi } {dk\,{f_2}(k)\; = \;0} \]

عيناً همين جواب را مي توان با انتخاب دو k خاص k = \frac{\pi }{2} و k = \frac{{3\pi }}{2} و جمع انتگراند به ازاء اين دو مقدار بدست آورد :

    \[{f_2}\,(\,k = \frac{\pi }{2}\,) + {f_2}\,(\,k = \frac{{3\pi }}{2}\,)\; = \;0\]

اين قاعده در حالت كلي نيز درست است و ما مي توانيم انتگرال عبارتهاي تناوبي را به جاي محاسبه دقيق در فضاي k تنها با انتخاب چندk خاص با تقريب خوبي محاسبه نماييم . نكته مهم انتخاب k هاي خاصي است كه چنين ويژگي را داشته باشند . انتخاب نقاط k معمولاً به دو روش انجام مي-گيرد كه عبارتند از :
1- روش Monkhorst Pack (1976)
2- روش Chadi & Cohen (1973)

چون در نرم افزار هاي Wien2k و ESSPRESSO روش Monkhorst Pack براي انتخاب نقاط k به كار رفته است لذا ابتدا به توضيح اين روش مي پردازيم:

در اين روش ناحيه اول بريلوئن در هر بلوري به صورت يكنواخت و طبق فرمول زير سلول بندي مي-شود:

    \[{\underline k _{{n_1},{n_2},{n_3}}}\; = \;\frac{{2{n_1} - {N_1} - 1}}{{2{N_1}}}\underline {{G_1}} \; + \;\frac{{2{n_2} - {N_2} - 1}}{{2{N_2}}}\underline {{G_2}} \; + \;\frac{{2{n_3} - {N_3} - 1}}{{2{N_3}}}\underline {{G_3}} \]

\underline {{G_1}} و \underline {{G_2}} و \underline {{G_3}} بردارهاي بسيط در شبكه وارون هستند و N1 و N2 و N3 تعداد نقاط k در هر يك از راستاهاي \underline {{G_1}} و \underline {{G_2}} و \underline {{G_3}} است و نيز داريم:

n1 = 1,2,3,…..,N1

n2 = 1,2,3,…..,N2

n3 = 1,2,3,……,N3

shape4

نقطه 0= k و مرز نواحي بريلوئن جزء k هاي انتخابي نيستند.

ويژگي هاي روش Monkhorst Pack :

1- نقطه \Gamma \,(\,k = 0\,) جزء نقاط انتخابي نيست و اين امتياز اين روش است و باعث مي شود تعداد k هاي كمتري نياز باشد .
2-نقاط k انتخابي به صورت يكنواخت توزيع شده اند ( برخلاف روش chadi ).
3- با توجه به تناوبي بودن تابع f(\underline k ) داريم :

    \[f(\underline k )\; = \;f\,(\underline k  + \underline G )\quad  \Rightarrow \quad f(\underline k )\; = \;\sum\limits_{\underline R } {\;f(\underline R )\,{e^{i\underline k .\underline R }}} \]

R : بردار انتقال شبكه در فضاي r

مي توان نشان داد ضرايب فوريه f(\underline R ) به ازاء \underline R هاي بزرگ قابل اغماضند ( \underline R قطع داريم ) از طرف ديگر مي توان نشان داد كه در روش Monkhorst Pack انتگرال \int\limits_{BZ} {f(\underline k )d\underline k } تنها در صورتي به ازاء k هاي انتخابي دقيق محاسبه مي شود كه بتوانيم فرض كنيم ضرايب فوريه f(\underline R ) در هر راستا تنها تا {N_1}{\underline R _1} و {N_2}{\underline R _2} و {N_3}{\underline R _3} گسترش دارند و بعد از آن صفر مي شوند . لذا هر چه مقادير N1و N2 و N3 بزرگتر انتخاب شوند ( تعداد سلول ها بيشتر ) نتيجه دقيق تر و البته حجم محاسبات نيز بيشتر خواهد شد.

مثال 1:
يك شبكه دو بعدي مربعي را در نظر بگيريد و فرض كنيد سلول بندي N1 = N2 = 4 انتخاب شده باشد. مي خواهيم با روش Monkhorst Pack نقاط k ويژه را به همراه وزن هر يك تعيين كنيم .
سلول بندي ناحيه اول بريلوئن به صورت زير است :

shape5

    \[\begin{array}{l} {\underline k _{{n_1},{n_2}}} = \;\frac{{2{n_1} - 4 - 1}}{8}\underline {{G_1}} \, + \,\frac{{2{n_2} - 4 - 1}}{8}\underline {{G_2}} \\ \Rightarrow \quad {\underline k _{{n_1},{n_2}}} = \;\frac{{2{n_1} - 5}}{8}\underline {{G_1}} \, + \,\frac{{2{n_2} - 5}}{8}\underline {{G_2}} \end{array}\]

    \[\begin{array}{l} {\rm{if }}{n_1} = 1\quad ,\quad {n_2} = 1\quad \Rightarrow \quad {\underline k _{1,1}}\; = \;\frac{{2 - 5}}{8}\underline {{G_1}} + \frac{{2 - 5}}{8}\underline {{G_2}} \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad {\mkern 1mu} \Rightarrow \quad {\underline k _{1,1}}\; = \;\frac{{ - 3}}{8}\underline {{G_1}} - \frac{3}{8}\underline {{G_2}} \end{array}\]

    \[\begin{array}{l} {\rm{if }}{n_1} = 1\quad ,\quad {n_2} = 2\quad \Rightarrow \quad {\underline k _{1,2}}\; = \;\frac{{ - 3}}{8}\underline {{G_1}} - \frac{1}{8}\underline {{G_2}} \\ {\rm{ }}{\rm{.}}\\ {\rm{ }}{\rm{.}}\\ {\rm{ }}{\rm{.}}\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad {\rm{ }}{\underline k _{4,4}}\; = \;\frac{3}{8}\underline {{G_1}} + \frac{3}{8}\underline {{G_2}} \end{array}\]

در نهايت شانزده نقطه k حاصل مي شود كه به سه دسته زير تقسيم مي شوند:

    \[(\, \pm \frac{1}{8}\;,\; \pm \frac{1}{8}\,){\rm{:4 }}{{\rm{k}}_1}{\rm{ points   }}(\, \pm \frac{3}{8}\;,\; \pm \frac{3}{8}\,){\rm{:4 }}{{\rm{k}}_2}{\rm{ points   }}(\, \pm \frac{3}{8},\;\; \pm \frac{1}{8}\,)\;,\;(\, \pm \frac{1}{8}\;,\; \pm \frac{3}{8}\,){\rm{:8 }}{{\rm{k}}_3}{\rm{ points   }}\]

shape6

    \[\begin{array}{l} 4{k_1}\quad :\quad (\frac{1}{8}\;,\;\frac{1}{8})\quad \Rightarrow \quad {w_1} = \frac{1}{4}\\ 4{k_2}\quad :\quad (\frac{3}{8}\;,\;\frac{3}{8})\quad \Rightarrow \quad {w_2} = \frac{1}{4}\\ 8{k_3}\quad :\quad (\frac{3}{8}\;,\;\frac{1}{8})\quad \Rightarrow \quad {w_3} = \frac{1}{2} \end{array}\]

    \[\frac{{{\Omega _{cell}}}}{{{{(2\pi )}^2}}}\;\int\limits_{Bz} {f(k)dk\; = \;\frac{1}{{{N_k}}}\;\sum\limits_k {\;f(\underline k )\; = \;\sum\limits_k {\;{w_k}f(k)} \; = \;\frac{1}{4}\,f({k_1}) + \frac{1}{4}\,f({k_2}) + \frac{1}{2}\,f({k_3})} } \]

مثال 2 :

يك بلور مكعبي ساده در نظر بگيريد و فرض كنيد در سلول بندي منخورست پك داشته باشيم N1=N2 = N3 = 2 نقاط ويژه k را در IBZ مشخص كنيد .

در كل ناحيه اول بريلوئن براي اين بلور به تعداد 2×2×2=8 نقطه k داريم كه عبارتند از :

    \[{\underline k _{{n_1},{n_2},{n_3}}}\; = \;\frac{{2{n_1} - 3}}{4}\underline {{G_1}} \, + \,\frac{{2{n_2} - 3}}{4}\underline {{G_2}} \, + \,\frac{{2{n_3} - 3}}{4}\underline {{G_3}} \]

    \[{n_1} = \;1\,,\,2\quad \quad \quad {n_2} = \;1\,,\,2\quad \quad \quad {n_3} = \;1\,,\,2\]

    \[{\underline k _{1,1,1}} =  - \frac{1}{4}\underline {{G_1}}  - \frac{1}{4}\underline {{G_2}}  - \frac{1}{4}\underline {{G_3}} \]

    \[{\underline k _{2,2,2}} = \frac{1}{4}\underline {{G_1}}  + \frac{1}{4}\underline {{G_2}}  + \frac{1}{4}\underline {{G_3}} \]

    \[{\underline k _{1,1,2}} =  - \frac{1}{4}\underline {{G_1}}  - \frac{1}{4}\underline {{G_2}}  + \frac{1}{4}\underline {{G_3}} \]

    \[{\underline k _{1,2,2}} =  - \frac{1}{4}\underline {{G_1}}  + \frac{1}{4}\underline {{G_2}}  + \frac{1}{4}\underline {{G_3}} \]

    \[{\underline k _{1,2,1}} =  - \frac{1}{4}\underline {{G_1}}  + \frac{1}{4}\underline {{G_2}}  - \frac{1}{4}\underline {{G_3}} \]

    \[{\underline k _{2,1,1}} = \frac{1}{4}\underline {{G_1}}  - \frac{1}{4}\underline {{G_2}}  - \frac{1}{4}\underline {{G_3}} \]

    \[{\underline k _{2,2,1}} = \frac{1}{4}\underline {{G_1}}  + \frac{1}{4}\underline {{G_2}}  - \frac{1}{4}\underline {{G_3}} \]

    \[{\underline k _{2,1,2}} = \frac{1}{4}\underline {{G_1}}  - \frac{1}{4}\underline {{G_2}}  + \frac{1}{4}\underline {{G_3}} \]

بنابراين كلاً 8 نقطه در فضايk داريم با وزن يكسان كه در نهايت تنها يكي از آنها درون IBZ است.

shape7

    \[\frac{{{\Omega _{cell}}}}{{{{(2\pi )}^3}}}\;\int\limits_{BZ} {\,f(\underline k )d\underline k } \quad  = \quad \frac{1}{{N\underline {_k} }}\;\sum\limits_{\underline k } {\,f(\underline k )} \; = \;\frac{1}{8}\,f({k_1})\]

نقاط ويژه k در فلزات (روش هموار سازي smearing method ) :
آنچه تاكنون تحت عنوان روش مونخورست پك ( و يا چادي ) گفته شد براي استفاده در مورد عايق ها و نيم رساناها كافي است. ليكن اگر بخواهيم آنها را برا ي بلور هاي فلزي اعمال كنيم لازم است يك گام تكميلي ديگر نيز تحت عنوان هموار سازي يا smearing برداشته شود.
علت اين امر آن است كه در مورد عايق ها و نيم رساناها با نوار هاي كاملاً پر و يا كاملاً خالي روبرو هستيم لذا انتگرال گيري ها در تمام ناحيه اول بريلوئن انجام مي گيرد ليكن در مورد فلزات يك يا چند نوار غير پر داريم كه تنها بخشي از اين نوارها اشغال شده است . به همين دليل تعيين دقيق سطح فرمي حائز اهميت است و لذا به تعداد k هاي زيادي نياز است مطابق شكل زير:

shape8

در چنين مواردي انتگرال در فضاي k به صورت زير است :

    \[\frac{1}{{{\Omega _{BZ}}}}\,\int\limits_{BZ} {\;{\varepsilon _{\underline k }}\,\theta ({\varepsilon _{\underline k }} - \mu )\,d\underline k } \; = \;\sum\limits_{\underline k } {\,{w_{\underline k }}\,{\varepsilon _{\underline k }}\,\theta ({\varepsilon _{\underline k }} - \mu )} \]

كه در اين رابطه يك تابع پله اي و عبارت است از :

    \[\theta (x) = \left\{ \begin{array}{l} 1\quad x \le 0\\ 0\quad x > 0 \end{array} \right.\]

در مورد عايق ها و نيم رساناها در سرتاسر نوار اشغال شده مساوي يك است ليكن در مورد فلزات چنين نيست .

مشكلي كه در عمل بروز مي كند آن است كه به دليل وجود تابع پله اي \theta (\varepsilon  - \mu ) در فلزات عبارت \sum\limits_k {{w_k}{\varepsilon _k}\theta ({\varepsilon _k} - \mu )} بر حسب تعداد نقاط k خيلي دير همگرا مي شود و لذا حجم محاسبات بسيار زياد است . كندي در همگرايي اين عبارت ناشي از پرش تابع پله اي \theta بين 1,0 است .
براي آن كه از حجم سنگين محاسبات جلوگيري شود معمولاً تابع پله اي \theta را با يك تابع هموارتر به نام f({\varepsilon _k}) جايگزين مي كنيم كه اين كار باعث افزايش سرعت محاسبات مي شود . اين جايگزيني به روش هاي مختلف انجام مي گيرد كه تحت عنوان روش هاي هموار سازي يا smearing ناميده مي شود و ذيلاً به بعضي از آنها مي پردازيم :
روش هاي هموار سازي (smearing ) :
الف : روش دماي غير صفر( Finite temperature approach ):
( به كار گيري تابع فرمي ديراك مربوط به دماي غير صفر )
ب : هموار سازي گاوسي (Gaussian smearing ):

روش دماي غير صفر :
در اين روش به جاي به كار گيري تابع پله اي \theta (\varepsilon  - \mu ) از تابع توزيع فرمي ديراك مربوط به دماي غير صفر استفاده مي كنيم لذا :

    \[\sum\limits_k {\;{w_k}\,{\varepsilon _k}\,\theta ({\varepsilon _k} - \mu )\quad  \to \quad \sum\limits_k {\,{w_k}\,{\varepsilon _k}\,f(\frac{{{\varepsilon _k} - \mu }}{\sigma })} } \]

كه در آن :

    \[f(\frac{{{\varepsilon _k} - \mu }}{\sigma })\; = \;\frac{1}{{{e^{(\frac{{{\varepsilon _k} - \mu }}{\sigma })}} + 1}}\quad ,\quad \sigma  = {k_{BT}}\]

\sigma به نام پارامتر هموار سازي ( smearing parameter ) ناميده مي شود و مي توان آن را معادل دماي غير صفر نسبت داده شده به سيستم تعبير كرد .

shape9

در چنين حالتي ديگر انرژي E نسبت به عدد اشغال f از اصل وردش تبعيت نمي كند بلكه انرژي آزاد F به عنوان تابع وردشي جديد مطابق رابطه زير خواهد بود:

    \[F = E - \sigma \,s\,(f)\]

كه

    \[s\; = \; - f\,Lnf + (1 - f)\,Ln(1 - f)\]

انتروپي يك سيستم الكتروني غير بر هم كنشي در دماي غير صفر T است.

هموار سازي گاوسي (Gaussian smearing ) :
در اين روش براي هر تراز انرژي يك پهنا در نظر مي گيريم و يك تابع گاوسي به آن نسبت مي دهيم (انرژي آن تراز مشخص كننده مركز تابع گاوسي است ) و عدد اشغال مربوط به آن تراز بخشي از تابع گاوسي است كه زير سطح فرمي قرار دارد.

shape10

تابع گاوسي به صورت زير تعريف مي شود:

    \[g(\varepsilon )\; = \;\frac{1}{{\sqrt {2\pi } \,\sigma }}\;\exp \left[ {\frac{{ - {{({\varepsilon _f} - \varepsilon )}^2}}}{{2{\sigma ^2}}}} \right]\]

\sigma : پهناي گاوسي است .
عدد اشغال عبارت است از :

    \[f(\frac{{\varepsilon  - {\varepsilon _f}}}{\sigma }) = \int\limits_{ - \infty }^{{\varepsilon _f}} {g(\varepsilon )d\varepsilon }  = \frac{1}{2}\left[ {1 - erf(\frac{{\varepsilon  - {\varepsilon _f}}}{\sigma })} \right]\]

نكات قابل توجه در روش گاوسي:

1- انرژي كل يك كميت وردشي نيست (سيستم در حالت تعادل كمينه آن را ندارد ). بلكه انرژي آزاد تعميم يافته كميت وردشي است كه به صورت زير نوشته مي شود:

    \[F = E - \sum\limits_k {\,{w_k}\,\sigma \,{\kern 1pt} s\,({f_k})} \]

در چنين حالتي نيرو مشتق F است و نه E
2- در اين روش همگرايي نسبتاً سريعي بر حسب تعداد نقاط k (در مورد فلزات ) حاصل مي شود. ضمناً انتخاب پارامتر در اين روش و نيز در روش تابع توزيع فرمي ديراك بايستي با دقت انجام گيرد. اگر بزرگ انتخاب شود انرژي سيستم E حتي به ازاء تعداد k هاي زياد غلط به دست مي-آيد و اگر كوچك انتخاب شود سرعت همگرايي كاهش مي يابد.

روش تترا هدران خطي (Linear tetrahedron Method ) :

روش ديگري كه در مورد فلزات به كار مي رود و اين امكان را مي دهد كه سطح فرمي را بادقت تعيين كنيم روش تترا هدران است . در اين روش ناحيه بريلوئن به چهار وجهي هايي (tetrahedron ) تقسيم مي شود به گونه اي كه در هر راس اين چهار وجهي ها يكي از نقاط k گزينش شده قرار دارند. حال با درون يابي (inter polation ) مقادير k را در درون چهار وجهي ها تعيين مي كنيم. نتيجه اين روش آن است كه در نواحي حساس ( حوالي سطح فرمي ‌) كه تعداد k هاي بيشتري انتخاب شده است محاسبات نيز دقيقتر انجام گيرد.

shape11

روش چادي و كوهن ( chadi & cohen ) براي گزينش نقاط k :

فرض كنيد F(\underline k ) تابعي تناوبي در فضاي وارون است يعني F(\underline k ){\rm{ }} = {\rm{ }}F(\underline k  + \underline G ) و ما مي خواهيم از اين تابع در سرتاسر BZ ميانگين گيري كنيم يعني مي خواهيم رابطه زير را محاسبه كنيم:

(1)   \begin{equation*}  {F_0} = \;\frac{1}{N}\;\sum\limits_{\underline k }^{BZ} {\;F(\underline k )} \end{equation*}

با توجه به اين كه دوره تناوب F در فضاي فوريه يعني \underline G بردار شبكه وارون است لذا تابع F(\underline k ) را مي توان به صورت زير بسط داد:

    \[F(\underline k ) = \,\sum\limits_{{{\underline t }_m}} {\,{F_m}\,} {e^{i\,\underline k .{{\underline t }_m}}}\]

tm بردار انتقال شبكه در فضاي معمولي (\underline r ) است. رابطه اخير را مي توان به صورت زير نيز نوشت:

(2)   \begin{equation*}  F(\underline k ) = \,{F_0} + \,\sum\limits_{{t_m} \ne 0} {\,{F_m}\,{e^{i\,\underline k .{{\underline t }_m}}}} \end{equation*}

F0 و Fm ضرايب فوريه هستند.
حال اگر طرفين رابطه (2) را بر روي كليه بردار هاي مجاز \underline k در ناحيه اول بريلوئن جمع ببنديم و سپس حاصل را بر تعداد نقاط k يعني N تقسيم كنيم خواهد شد:

    \[\frac{1}{N}\;\sum\limits_k^{BZ} {\,F(\underline k ) = \,{F_0} + \,\sum\limits_{{t_m} \ne 0} {\,{F_m}\,\sum\limits_k^{BZ} {\,{e^{i\,\underline k .{{\underline t }_m}}}} } } \]

با توجه به تناوبي بودن بلور مي توان ثابت كرد كه :

    \[{\rm{if}}\quad \quad {t_m} \ne 0\quad  \Rightarrow \quad \sum\limits_k^{BZ} {\,{e^{i\,\underline k .{{\underline t }_m}}}}  = 0\]

لذا در طرف دوم فقط F0 باقي مي ماند و لذا :

    \[\frac{1}{N}\,\sum\limits_k^{BZ} {\,F(\underline k )\, = \,{F_0}} \]

و اين همان رابطه (1) قبلي است . بنابر اين اگر هدف محاسبه دقيق ميانگين F باشد بايستي تعداد بسيار زياد نقاط k در نظر بگيريم و تنها در چنين صورتي رابطه \frac{1}{N}\,\sum\limits_k^{BZ} {\,F(\underline k )\, = \,{F_0}} برقرار است.
واقعيت آن است كه بكارگيري تعداد زياد k زمان محاسبات را افزايش مي دهد لذا به دنبال روش-هاي ميان بر هستيم. در بسياري از موارد ضرايب فوريه در بسط ( ضرايب Fm در رابطه (2) ) فقط به بزرگي \left| {{{\underline {\,t} }_m}{\kern 1pt} } \right| بستگي دارند و لذا رابطه (2) را مي توان به صورت زير نوشت:

    \[F(\underline k ) = {F_0} + {F_1}\,\sum\limits_{{{\underline {{t_i}} }^{(I)}}} {\,{e^{i\,\underline k .{{\underline {{t_i}} }^{(i)}}}}}  + {F_2}\,\sum\limits_{{{\underline {{t_i}} }^{(II)}}} {\,{e^{i\,\underline k .{{\underline {{t_i}} }^{(II)}}}}}  + ...\]

{\underline {{t_i}} ^{(I)}} بردارهايي هستند كه اتم مركزي را به اولين همسايگان وصل مي كند و {\underline {{t_i}} ^{(II)}} بردارهايي كه اتم مركزي را به دومين همسايگان وصل مي كند و …

shape12

از طرف ديگر مي دانيم در بسط فوريه تابعي نظير F(\underline k ) ضرايب بسط با افزايش بردار {\underline t _m} كاهش مي يابد. لذا از يك بردار {\underline t _m} به بعد مي توان ضرايب Fm را صفر در نظر گرفت.
اين امر شبيه انرژي قطع است كه در بسط توابع موج بر حسب امواج تخت به كار مي رود. حال اگر براي سادگي از ضرايب بعد از F1 صرف نظر كنيم خواهيم داشت:

    \[F(\underline k ) = {F_0} + {F_1}\,\sum\limits_{{{\underline {{t_i}} }^{(I)}}} {\,{e^{i\,\underline k .{{\underline t }_i}^{(i)}}}} \]

اينك اگر يك مجموعه متشكل از ns نقطه k در ناحيه اول بريلوئن يعني {ks} به گونه اي انتخاب شوند كه شرط زير را به ازاء هر بردار انتقال {\underline {{t_i}} ^{(I)}} مربوط به اولين پوسته ( نزديكترين همسايگان ) ارضا نمايند :

    \[\sum\limits_{\underline k  \in \{ {{\underline k }_s}\} } {\,{e^{i\,\underline k .{{\underline {{t_i}} }^{(I)}}}}}  = 0\]

در آن صورت ميانگين F(\underline k ) يعني F0 عبارت خواهد شد از:

    \[\begin{array}{l} F(\underline k ) = {F_0} + {F_1}\,\sum\limits_{{{\underline {{t_i}} }^{(I)}}} {\,{e^{i\,\underline k .{{\underline {{t_i}} }^{(I)}}}}} \\ \; \Rightarrow \;\frac{1}{{{n_s}}}\,\sum\limits_{k \in \{ {k_s}\} } {\,F(\underline k ) = {F_0} + {F_1} \cdot \frac{1}{{{n_s}}}\,\sum\limits_{{t_i}^{(I)}} {\underbrace {\sum\limits_{\underline k \in \{ {{\underline k }_s}\} } {\,{e^{i\,\underline k .{{\underline {{t_i}} }^{(I)}}}}} }_0} \; \Rightarrow \;{F_0} = \frac{1}{{{n_s}}}\,\sum\limits_{\underline k \in \{ {{\underline k }_s}\} } {\,F\,(\underline k )} } \end{array}\]

به اين ترتيب با ميانگين گيري F(\underline k ) بر روي تعداد محدودي از نقاط k در واقع F0 حاصل مي شود و F0 ميانگين F(\underline k ) در كل ناحيه اول بريلوئن است .

    \[{F_0} = \frac{1}{N}\,\sum\limits_{\underline k }^{BZ} {\,F(\underline k )\; = \;\frac{1}{{{n_s}}}\,\sum\limits_{\underline k  \in \{ {{\underline k }_s}\} } {F(\underline k )} } \]

مثال :
بلور مكعبي ساده : در اين بلور هر نقطه شبكه 6 همسايه اول دارد كه پوسته اول را تشكيل مي دهد. اين 6 همسايه با 6 بردار {\underline {{t_i}} ^{(I)}} به صورت زير مشخص مي شوند:

shape13

حال اگر تنها دو بردار طبق مشخصات زير انتخاب كنيم :

    \[\underline {{k_1}}  = \frac{\pi }{a}(\,\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\,)\quad \quad \quad ,\quad \quad \quad \underline {{k_2}}  =  - \frac{\pi }{a}(\,\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\,)\]

در اين صورت شرط \sum\limits_{\underline k  \in \{ {{\underline k }_s}\} } {\,{e^{i\,\underline k .{{\underline {{t_i}} }^{(I)}}}}}  = 0 به ازاء هر يك از 6 بردار {\underline {{t_i}} ^{(I)}} ارضا مي شوند چرا كه :

    \[\sum\limits_{\underline k  \in \{ {{\underline k }_s}\} } {{e^{i\underline k  \cdot {{\underline t }_i}^{(2)}}}}  = {e^{i\frac{\pi }{a}(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}) \cdot (a,0,0)}} + {e^{ - i\frac{\pi }{a}(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}) \cdot (a,0,0)}} = {e^{i\frac{\pi }{a}}} + {e^{ - i\frac{\pi }{a}}} = 0\]

به همين ترتيب به ازاء {\underline {{t_i}} ^{(I)}} = \;(0,\,0,\, \pm a) و نيز (\,0\,,\, \pm a\,,\,0\,),(\,0\,,\,0\,,\, \pm a\,) همين نتيجه حاصل مي شود. لذا مي توان نتيجه گرفت كه :

    \[{F_0} = \frac{1}{{{n_s}}}\,\sum\limits_{\underline k \, \in \,\{ \underline {{k_s}} \} } {F(k)}  = \,\frac{1}{2}\,\left[ {F({{\underline k }_1}) + F({{\underline k }_2})} \right]\]

منظور نمودن ديگر همسايگان (همسايگان دورتر) در بلور مكعبي:
در همين بلور مكعبي اولين همسايگان به تعداد 6 و با بردارهاي (\, \pm a\;,\;0\;,\;0\,)\;,\;(\,0\;,\; \pm a\;,\;0\,)\;,\;(\,0\;,\;0\;,\; \pm a\,) مشخص مي شوند. دومين همسايگان به تعداد 12 و با بردارهاي ( \pm a\,,\, \pm \;a\;,\;0)\;,\;( \pm a\;,\;0\;,\; \pm a)\;,\;(0\;,\; \pm a\;,\; \pm a) و سومين همسايگان به تعداد 8 و با بردارهاي ( \pm a\;,\; \pm a\;,\; \pm a) مشخص مي شوند. لذا مي توان نوشت :

    \[F(\underline k ) = {F_0} + \sum\limits_{{{\underline t }_m} \ne 0} {\,{F_m}{e^{i\,\underline k .{{\underline t }_m}}}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow \;F(\underline k ) = \,{F_0} + 2{F_1}\,(\,Cos\,{k_x}\,a + Cos\,{k_y}\,a + Cos\,{k_z}\,a\,) + \\ 4{F_2}\,(Cos\,{k_x}\,a\;Cos\,{k_y}\,a + Cos\,{k_x}\,a\;Cos\,{k_z}\,a + ...)\\ + 8{F_3}\,(Cos\,{k_x}\,a\;Cos\,{k_y}\,a\;Cos\,{k_z}\,a + ...) \end{array}\]

در عبارت اخير ديده مي شود كه تنها يك نقطه k ( كه به آن نقطه Baldereschi گفته مي شود ) قادر است سهم همسايگان اول و دوم و سوم را صفر كند و آن نقطه  {K_B} = \frac{\pi }{a}(\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{1}{2}) است . لذا در اين حالت مي توان نوشت :

    \[{F_0} = F({\underline k _B})\]

به اين ترتيب نتيجه مي شود كه با استفاده از تقارن بلور مي توان تعداد معدودي نقطه k انتخاب و با محاسبه تابع F در همان نقاط معدود ميانگين F را در كل ناحيه اول بريلوئن بدست آورد.

 


بنده دانشجوی دکترای فیزیک ماده چگال از دانشگاه تربیت مدرس تهران هستم. حوزه مورد علاقه من فیزیک محاسباتی (به طور خاص نظریه تابعیت چگالی) و همچنین سیستم های توپولوژیک است.


پاسخ دهید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *