صفحه اصلی روش ها و الگوریتم ها انتگرال گیری در ناحیه اول بریلوئن

انتگرال گیری در ناحیه اول بریلوئن

سجاد حمرهمهر ۲۶, ۱۳۹۵روش ها و الگوریتم ها 0

در نظریه تابعی چگالی استخراج خواص یک سیستم منوط به حل خود سازگار معادلات کوهن شم است . برای حل این معادلات ما معمولاً با انتگرال هایی از نوع $\int\limits_{1BZ} {f(\underline k )d\underline k }$ روبرو می شویم که $f(\underline k )$ یک تابع تناوبی با دوره تناوب مساوی بردار انتقال شبکه است یعنی $f(\underline k ) = f(\underline k + \underline G )$ .
برای محاسبه این گونه انتگرال ها نکاتی را بایستی رعایت کرد که در دقت و سرعت محاسبات بسیار مهم است و در ادامه به آنها خواهیم پرداخت . لیکن قبل از آن معادله کوهن شم و نحوه پیدایش توابع تناوبی $f(\underline k )$ را مرور می کنیم .
معادله تک ذره کوهن شم به صورت زیر است :

$\left[ {\;\frac{{ - {\hbar ^2}}}{{2m}}{\nabla ^2} + {V_{eff}}(\underline r ) - {\varepsilon _i}\;} \right]\;{\psi _i}(\underline r )\; = \;0$

N: تعداد کل الکترون ها

$\begin{array}{l} {V_{eff}}(\underline r )\, = \,V(\mathop {\underline r )\;}\limits^{ion} + \;\frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\int {\,\frac{{\rho (\underline {{r^1}} )d{{\underline r }^1}}}{{\left| {\underline r - {{\underline r }^1}} \right|}}\, + \,\frac{{\delta \,Exc\left[ \rho \right]}}{{\delta \,\rho (\underline r )}}} \\ \rho (\underline r )\, = \,\sum\limits_{i = 1}^N {\,{{\left| {{\psi _i}(\underline r )} \right|}^2}} \end{array}$

${\Psi _i}(\underline r )$ : تابع موج تک الکترونی
$\rho$ : چگالی کل الکترونها

با اعمال قضیه بلوخ که ناشی از تناوبی بودن بلور است اندیس به دو اندیس (شماره نوار ) و (بردار موج در ناحیه اول بریلوئن ) تبدیل می شود یعنی :

$i \to n,\underline k$

چگالی ابر الکترونی با رابطه زیر مشخص خواهد شد :

$\rho (\underline r )\; = \;\frac{\Omega }{{{{(2\pi )}^3}}}\;\int\limits_{1BZ} {\;{\rho _{\underline k }}(\underline r )\,d\underline k }$

$\Omega$ :حجم یاخته بسیط
که در آن :

$\begin{array}{l} {\rho _{\underline k }}(\underline r )\, = \,\sum\limits_n^{occ} {\;{{\left| {\,{\psi _{n,\underline k }}(\underline r )\,} \right|}^2}} \\ {\rho _{\underline k + \underline G }}(\underline r )\, = \,{\rho _{\underline k }}(\underline r ) \end{array}$

بنابراین ملاحظه می شود که $\rho (\underline r )$ از یک طرف یک کمیت محوری است و پتانسیل هارتری $V_H$ و پتانسیل تبادلی همبستگی $V_{xc}$ هر دو به این کمیت بستگی دارند و از طرف دیگر برای محاسبه این کمیت نیاز به محاسبه انتگرال از یک تابع تناوبی در ناحیه اول بریلوئن داریم .
برای آن که اهمیت انتگرال گیری در ناحیه اول بریلوئن روشن تر شود از زاویه دیگری به این موضوع می نگریم . می دانیم در یک بلور تعداد نقاط شبکه ( تعداد سلول های واحد ) مساوی تعداد نقاط k در ناحیه اول بریلوئن است . لذا اگر بخواهیم میانگین یک کمیت را به ازاء هر سلول واحد در فضای معمولی ( فضای r ) محاسبه کنیم ( فرضاً میانگین انرژی به ازاء هر یاخته بسیط ) بایستی از آن کمیت به ازاء یک مجاز میانگین گیری کنیم . فرضاً یک کمیت نظیر $f(\underline k )$ را در نظر بگیرید میانگین آن به ازاء هر سلول واحد عبارت است از :

$\overline f \, = \,\frac{1}{{{N_{\underline k }}}}\,\sum\limits_{\underline k } {\;f(\underline k )\;} \Rightarrow \;\rho (\underline r )\, = \,\frac{1}{{{N_{\underline k }}}}\;\sum\limits_{\underline k } {\;{\rho _{\underline k }}(\underline r )}$

${N_{\underline k }}$ تعداد کل k ها در ناحیه اول بریلوئن است . حال می توان رابطه اخیر را به صورت انتگرال زیر نیز نوشت :

$\overline f = \frac{1}{{{\Omega _{BZ}}}}\;\int\limits_{1BZ} {\,f(\underline k )d\underline k } \; = \;\frac{{{\Omega _{cell}}}}{{{{(2\pi )}^d}}}\;\int\limits_{1BZ} {\,f(\underline k )d\underline k }$

$\Omega _{BZ}$ : حجم ناحیه اول بریلوئن

به این ترتیب دیده می شود که ما برای محاسبه بسیاری از خواص بلور با انتگرال هایی در ناحیه اول بریلوئن سر و کار داریم. در ادامه به نکاتی که برای محاسبه اینگونه انتگرال ها بایستی رعایت شود می پردازیم . برای محاسبه این گونه انتگرال ها سه نکته بایستی رعایت شوند که عبارت اند از :

انتگرال گیری در ناحیه کاهش ناپذیر بریلوئن Irreducible Brillioun Zone = IBZ
سلول بندی ( مش بندی ) مناسب فضای فوریه
انتخاب مناسب نقاط ویژه k یعنی k Point sampling

حال به توضیح هر یک می پردازیم :

1- ناحیه کاهش ناپذیر بریلوئن

تقارن موجود در بلور موجب آن میشود که به جای انتگرال گیری در کل ناحیه اول بریلوئن ما فقط در بخش کوچکی از این ناحیه انتگرال بگیریم . به عبارت دیگر IBZ بخشی از ناحیه اول بریلوئن است که حاوی تمامی اطلاعات سیستم است . بدیهی است که هر چه تقارن بلور بیشتر باشد IBZ بخش کوچکتری از BZ را در بر میگیرد فرضاً در یک بلور مکعبی ساده داریم :

$\frac{{IBZ}}{{BZ}} = \frac{1}{{48}}$

چرا IBZ حاوی تمامی اطلاعات موجود در BZ است ؟
برای پاسخ به این سوال یک عملگر تقارنی بلور نظیر R را در نظر می گیریم . R عملگری است که با اعمال آن بلور به حالت اولیه بر می گردد.
این عملگر با هامیلتونی $\hat H$ بلور طبق رابطه زیر مرتبط است :

$\underline R \hat H\; = \;\hat H\underline R \quad \Rightarrow \quad \left[ {\underline R ,\hat H} \right]\; = \;0$

$\begin{array}{l} {\rm{if : }}H{\psi _1}\; = \;{E_1}{\psi _1}\quad \Rightarrow \quad \underline R \,(H{\psi _1})\; = \;\underline R \,({E_1}{\psi _1})\\ \Rightarrow \quad H\,(\underline R {\psi _1})\; = \;{E_1}\,(\underline R {\psi _1}) \end{array}$

بنابراین $\underline R {\psi _1}$ نیز ویژه تابع مربوط به هامیلتونی $\hat H$ با همان ویژه مقدار ${E_1}$ است . این بدان معناست که اگر اطلاعات نقطه1 در 1BZ یعنی ${E_1}$ و ${\psi _1}$ را داشته باشیم اطلاعات نقطه 2 یعنی $\underline R {\psi _1}$ و ${E_1}$ نیز معلوم هستند .

بنابراین نتیجه آن میشود که :

$\sum\limits_{BZ} {\;f(\underline K )\quad = \quad \sum\limits_{IBZ} {\;W(\underline K )f(\underline K )} }$

W : تابع وزن

یعنی جمع ( انتگرال گیری )‌ فقط به روی ناحیه کاهش ناپذیر بریلوئن انجام می گیرد لیکن برای هر نقطه لازم است وزن مناسبی در نظر گرفته شود .

2- سلول بندی ( مش بندی ) مناسب

برای محاسبه عددی یک انتگرال در عمل آن را به جمع $\sum {}$ تبدیل می کنیم و می نویسیم :

$\int\limits_{IBZ} {....d\underline k \quad \to \quad \sum\limits_{IBZ} {} }$

و برای محاسبه $\sum {}$ ناحیه اول بریلوئن و یا بخش کاهش یافته آن را به یاخته های کوچک و مساوی تقسیم بندی می کنیم و حاصل عبارت مربوطه را در درون هر یک از این یاخته ها محاسبه می کنیم . نکته ای که بایستی در این مرحله رعایت شود آن است که مش بندی مناسب باید به گونه ای انتخاب شود که نقطه مبداء یعنی $\Gamma (G = 0)$ جزء نقاط انتخابی نباشد. این کار باعث می شود که به تعداد نقاطk کمتری نیاز باشد . در شکل زیر دو مش بندی با توزیع یکسان را با هم مقایسه می کنیم که تنها تفاوت آنها در آن است که در یک حالت ( الف ) نقطه نیز جزء نقاط k انتخابی است و در حالت دوم ( ب ) چنین نیست .

در این حالت 6 نقطه غیر معادل درون IBZ داریم. لذا تعداد k ها در ناحیه IBZ مساوی 6 است .
حال اگر همین مش بندی را به کار گیریم لیکن آن را قدری انتقال دهیم بگونه ای که مبداء $\Gamma$ جزء نقاط k انتخابی نباشد شکل زیر حاصل می شود:

در این حالت تنها سه نقطه غیر معادل درون IBZ داریم و به این ترتیب حجم محاسبات کاهش می یابد.

بنابر این اگر سلول بندی به گونه ای انجام گیرد که مبداء فضا ء k (نقطه $\Gamma$ ) را شامل نشود حجم محاسبات کمتر خواهد شد .

3- نقاط ویژه k ${\rm{(k Point sampling)}}$
گفتیم که برای استخراج بسیاری از خواص بلور نظیر چگالی و انرژی نیاز به محاسبه انتگرال توابع تناوبی نظیر $f(\underline k ) = f(\underline k + \underline G )$ در سر تا سر ناحیه اول بریلوئن ( و یا در عمل در IBZ ) داریم که به صورت زیر است :

$\overline f \; = \;\frac{{{\Omega _{cell}}}}{{{{(2\pi )}^d}}}\;\int\limits_{BZ} {d\underline k f(\underline k )\; = \;\frac{1}{{{\Omega _{BZ}}}}\;\int\limits_{BZ} {d\underline k f\underline k \; = \;\frac{1}{{{N_k}}}\;\sum\limits_{\underline k } {f(\underline k )} } }$

${\Omega _{BZ}}$ :حجم یاخته بسیط در فضای k
${N_k}$ : تعداد نقاط k
${\Omega _{cell}}$ : حجم یاخته بسیط در فضای r
d : تعداد ابعاد بلور
$\overline f$ : میانگین f به ازاء هر k و یا معادل آن میانگین f به ازاء هر یاخته بسیط در فضای معمولی

واقعیت آن است که می توان انتگرال اخیر را به جای آن که در کل BZ محاسبه نماییم تنها به ازاء چند k خاص محاسبه و با تقریب خوبی همان $\overline f$ را بدست آوریم. ذیلاً با مثال هایی موضوع را توضیح می دهیم .فرض کنید هدف محاسبه انتگرال زیر باشد:

${I_1}\; = \;\int\limits_0^{2\Pi } {dk\;} Sin{\mkern 1mu} (k)\; = \;Cos{\mkern 1mu} k\left| {\begin{array}{*{20}{l}} {2\pi }\\ 0 \end{array}} \right.{\mkern 1mu} = {\mkern 1mu} Cos(2\pi ) - Cos(0)\; = \;1 - 1\; = \;0$

بنابراین با محاسبه دقیق جواب این انتگرال $I_1=0$ حاصل می شود.
حال می توان همین جواب $I_1=0$ را به طریق دیگری نیز بدست آورد و آن این است که مقدار انتگراند (عبارت زیر علامت انتگرال ) را به ازاء یک k میانگین $k = \pi$ محاسبه نماییم :

${f_1}(k)\; = \;Sin(k)\quad \Rightarrow \quad Sin(k)\;\left| \begin{array}{l} \\ k = \pi \end{array} \right.\; = \;0$

مثال دیگر محاسبه انتگرال زیر است:

${I_2}\; = \;\int\limits_0^{2\Pi } {\,dk\left[ {\,{A_1}\;Sin(k) + {A_2}\;Sin(2k)\,} \right]} \; = \;\int\limits_0^{2\Pi } {dk\,{f_2}(k)\; = \;0}$

عیناً همین جواب را می توان با انتخاب دو k خاص $k = \frac{\pi }{2}$ و $k = \frac{{3\pi }}{2}$ و جمع انتگراند به ازاء این دو مقدار بدست آورد :

${f_2}\,(\,k = \frac{\pi }{2}\,) + {f_2}\,(\,k = \frac{{3\pi }}{2}\,)\; = \;0$

این قاعده در حالت کلی نیز درست است و ما می توانیم انتگرال عبارتهای تناوبی را به جای محاسبه دقیق در فضای k تنها با انتخاب چندk خاص با تقریب خوبی محاسبه نماییم . نکته مهم انتخاب k های خاصی است که چنین ویژگی را داشته باشند . انتخاب نقاط k معمولاً به دو روش انجام می-گیرد که عبارتند از :
1- روش Monkhorst Pack (1976)
2- روش Chadi & Cohen (1973)

چون در نرم افزار های Wien2k و ESSPRESSO روش Monkhorst Pack برای انتخاب نقاط k به کار رفته است لذا ابتدا به توضیح این روش می پردازیم:

در این روش ناحیه اول بریلوئن در هر بلوری به صورت یکنواخت و طبق فرمول زیر سلول بندی می-شود:

${\underline k _{{n_1},{n_2},{n_3}}}\; = \;\frac{{2{n_1} - {N_1} - 1}}{{2{N_1}}}\underline {{G_1}} \; + \;\frac{{2{n_2} - {N_2} - 1}}{{2{N_2}}}\underline {{G_2}} \; + \;\frac{{2{n_3} - {N_3} - 1}}{{2{N_3}}}\underline {{G_3}}$

$\underline {{G_1}}$ و $\underline {{G_2}}$ و $\underline {{G_3}}$ بردارهای بسیط در شبکه وارون هستند و N₁ و N₂ و N₃ تعداد نقاط k در هر یک از راستاهای $\underline {{G_1}}$ و $\underline {{G_2}}$ و $\underline {{G_3}}$ است و نیز داریم:

n1 = 1,2,3,…..,N1

n2 = 1,2,3,…..,N2

n3 = 1,2,3,……,N3

نقطه 0= k و مرز نواحی بریلوئن جزء k های انتخابی نیستند.

ویژگی های روش Monkhorst Pack :

1- نقطه $\Gamma \,(\,k = 0\,)$ جزء نقاط انتخابی نیست و این امتیاز این روش است و باعث می شود تعداد k های کمتری نیاز باشد .
2-نقاط k انتخابی به صورت یکنواخت توزیع شده اند ( برخلاف روش chadi ).
3- با توجه به تناوبی بودن تابع $f(\underline k )$ داریم :

$f(\underline k )\; = \;f\,(\underline k + \underline G )\quad \Rightarrow \quad f(\underline k )\; = \;\sum\limits_{\underline R } {\;f(\underline R )\,{e^{i\underline k .\underline R }}}$

R : بردار انتقال شبکه در فضای r

می توان نشان داد ضرایب فوریه $f(\underline R )$ به ازاء $\underline R$ های بزرگ قابل اغماضند ( $\underline R$ قطع داریم ) از طرف دیگر می توان نشان داد که در روش Monkhorst Pack انتگرال $\int\limits_{BZ} {f(\underline k )d\underline k }$ تنها در صورتی به ازاء k های انتخابی دقیق محاسبه می شود که بتوانیم فرض کنیم ضرایب فوریه $f(\underline R )$ در هر راستا تنها تا ${N_1}{\underline R _1}$ و ${N_2}{\underline R _2}$ و ${N_3}{\underline R _3}$ گسترش دارند و بعد از آن صفر می شوند . لذا هر چه مقادیر N₁و N₂ و N₃ بزرگتر انتخاب شوند ( تعداد سلول ها بیشتر ) نتیجه دقیق تر و البته حجم محاسبات نیز بیشتر خواهد شد.

مثال 1:
یک شبکه دو بعدی مربعی را در نظر بگیرید و فرض کنید سلول بندی N₁ = N₂ = 4 انتخاب شده باشد. می خواهیم با روش Monkhorst Pack نقاط k ویژه را به همراه وزن هر یک تعیین کنیم .
سلول بندی ناحیه اول بریلوئن به صورت زیر است :

$\begin{array}{l} {\underline k _{{n_1},{n_2}}} = \;\frac{{2{n_1} - 4 - 1}}{8}\underline {{G_1}} \, + \,\frac{{2{n_2} - 4 - 1}}{8}\underline {{G_2}} \\ \Rightarrow \quad {\underline k _{{n_1},{n_2}}} = \;\frac{{2{n_1} - 5}}{8}\underline {{G_1}} \, + \,\frac{{2{n_2} - 5}}{8}\underline {{G_2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} {\rm{if }}{n_1} = 1\quad ,\quad {n_2} = 1\quad \Rightarrow \quad {\underline k _{1,1}}\; = \;\frac{{2 - 5}}{8}\underline {{G_1}} + \frac{{2 - 5}}{8}\underline {{G_2}} \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad {\mkern 1mu} \Rightarrow \quad {\underline k _{1,1}}\; = \;\frac{{ - 3}}{8}\underline {{G_1}} - \frac{3}{8}\underline {{G_2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} {\rm{if }}{n_1} = 1\quad ,\quad {n_2} = 2\quad \Rightarrow \quad {\underline k _{1,2}}\; = \;\frac{{ - 3}}{8}\underline {{G_1}} - \frac{1}{8}\underline {{G_2}} \\ {\rm{ }}{\rm{.}}\\ {\rm{ }}{\rm{.}}\\ {\rm{ }}{\rm{.}}\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad {\rm{ }}{\underline k _{4,4}}\; = \;\frac{3}{8}\underline {{G_1}} + \frac{3}{8}\underline {{G_2}} \end{array}$

در نهایت شانزده نقطه k حاصل می شود که به سه دسته زیر تقسیم می شوند:

$(\, \pm \frac{1}{8}\;,\; \pm \frac{1}{8}\,){\rm{:4 }}{{\rm{k}}_1}{\rm{ points }}(\, \pm \frac{3}{8}\;,\; \pm \frac{3}{8}\,){\rm{:4 }}{{\rm{k}}_2}{\rm{ points }}(\, \pm \frac{3}{8},\;\; \pm \frac{1}{8}\,)\;,\;(\, \pm \frac{1}{8}\;,\; \pm \frac{3}{8}\,){\rm{:8 }}{{\rm{k}}_3}{\rm{ points }}$

$\begin{array}{l} 4{k_1}\quad :\quad (\frac{1}{8}\;,\;\frac{1}{8})\quad \Rightarrow \quad {w_1} = \frac{1}{4}\\ 4{k_2}\quad :\quad (\frac{3}{8}\;,\;\frac{3}{8})\quad \Rightarrow \quad {w_2} = \frac{1}{4}\\ 8{k_3}\quad :\quad (\frac{3}{8}\;,\;\frac{1}{8})\quad \Rightarrow \quad {w_3} = \frac{1}{2} \end{array}$

$\frac{{{\Omega _{cell}}}}{{{{(2\pi )}^2}}}\;\int\limits_{Bz} {f(k)dk\; = \;\frac{1}{{{N_k}}}\;\sum\limits_k {\;f(\underline k )\; = \;\sum\limits_k {\;{w_k}f(k)} \; = \;\frac{1}{4}\,f({k_1}) + \frac{1}{4}\,f({k_2}) + \frac{1}{2}\,f({k_3})} }$

مثال 2 :

یک بلور مکعبی ساده در نظر بگیرید و فرض کنید در سلول بندی منخورست پک داشته باشیم N₁=N₂ = N₃ = 2 نقاط ویژه k را در IBZ مشخص کنید .

در کل ناحیه اول بریلوئن برای این بلور به تعداد 2×2×2=8 نقطه k داریم که عبارتند از :

${\underline k _{{n_1},{n_2},{n_3}}}\; = \;\frac{{2{n_1} - 3}}{4}\underline {{G_1}} \, + \,\frac{{2{n_2} - 3}}{4}\underline {{G_2}} \, + \,\frac{{2{n_3} - 3}}{4}\underline {{G_3}}$

${n_1} = \;1\,,\,2\quad \quad \quad {n_2} = \;1\,,\,2\quad \quad \quad {n_3} = \;1\,,\,2$

${\underline k _{1,1,1}} = - \frac{1}{4}\underline {{G_1}} - \frac{1}{4}\underline {{G_2}} - \frac{1}{4}\underline {{G_3}}$

${\underline k _{2,2,2}} = \frac{1}{4}\underline {{G_1}} + \frac{1}{4}\underline {{G_2}} + \frac{1}{4}\underline {{G_3}}$

${\underline k _{1,1,2}} = - \frac{1}{4}\underline {{G_1}} - \frac{1}{4}\underline {{G_2}} + \frac{1}{4}\underline {{G_3}}$

${\underline k _{1,2,2}} = - \frac{1}{4}\underline {{G_1}} + \frac{1}{4}\underline {{G_2}} + \frac{1}{4}\underline {{G_3}}$

${\underline k _{1,2,1}} = - \frac{1}{4}\underline {{G_1}} + \frac{1}{4}\underline {{G_2}} - \frac{1}{4}\underline {{G_3}}$

${\underline k _{2,1,1}} = \frac{1}{4}\underline {{G_1}} - \frac{1}{4}\underline {{G_2}} - \frac{1}{4}\underline {{G_3}}$

${\underline k _{2,2,1}} = \frac{1}{4}\underline {{G_1}} + \frac{1}{4}\underline {{G_2}} - \frac{1}{4}\underline {{G_3}}$

${\underline k _{2,1,2}} = \frac{1}{4}\underline {{G_1}} - \frac{1}{4}\underline {{G_2}} + \frac{1}{4}\underline {{G_3}}$

بنابراین کلاً 8 نقطه در فضایk داریم با وزن یکسان که در نهایت تنها یکی از آنها درون IBZ است.

$\frac{{{\Omega _{cell}}}}{{{{(2\pi )}^3}}}\;\int\limits_{BZ} {\,f(\underline k )d\underline k } \quad = \quad \frac{1}{{N\underline {_k} }}\;\sum\limits_{\underline k } {\,f(\underline k )} \; = \;\frac{1}{8}\,f({k_1})$

نقاط ویژه k در فلزات (روش هموار سازی smearing method ) :
آنچه تاکنون تحت عنوان روش مونخورست پک ( و یا چادی ) گفته شد برای استفاده در مورد عایق ها و نیم رساناها کافی است. لیکن اگر بخواهیم آنها را برا ی بلور های فلزی اعمال کنیم لازم است یک گام تکمیلی دیگر نیز تحت عنوان هموار سازی یا smearing برداشته شود.
علت این امر آن است که در مورد عایق ها و نیم رساناها با نوار های کاملاً پر و یا کاملاً خالی روبرو هستیم لذا انتگرال گیری ها در تمام ناحیه اول بریلوئن انجام می گیرد لیکن در مورد فلزات یک یا چند نوار غیر پر داریم که تنها بخشی از این نوارها اشغال شده است . به همین دلیل تعیین دقیق سطح فرمی حائز اهمیت است و لذا به تعداد k های زیادی نیاز است مطابق شکل زیر:

در چنین مواردی انتگرال در فضای k به صورت زیر است :

$\frac{1}{{{\Omega _{BZ}}}}\,\int\limits_{BZ} {\;{\varepsilon _{\underline k }}\,\theta ({\varepsilon _{\underline k }} - \mu )\,d\underline k } \; = \;\sum\limits_{\underline k } {\,{w_{\underline k }}\,{\varepsilon _{\underline k }}\,\theta ({\varepsilon _{\underline k }} - \mu )}$

که در این رابطه یک تابع پله ای و عبارت است از :

$\theta (x) = \left\{ \begin{array}{l} 1\quad x \le 0\\ 0\quad x > 0 \end{array} \right.$

در مورد عایق ها و نیم رساناها در سرتاسر نوار اشغال شده مساوی یک است لیکن در مورد فلزات چنین نیست .

مشکلی که در عمل بروز می کند آن است که به دلیل وجود تابع پله ای $\theta (\varepsilon - \mu )$ در فلزات عبارت $\sum\limits_k {{w_k}{\varepsilon _k}\theta ({\varepsilon _k} - \mu )}$ بر حسب تعداد نقاط k خیلی دیر همگرا می شود و لذا حجم محاسبات بسیار زیاد است . کندی در همگرایی این عبارت ناشی از پرش تابع پله ای $\theta$ بین 1,0 است .
برای آن که از حجم سنگین محاسبات جلوگیری شود معمولاً تابع پله ای $\theta$ را با یک تابع هموارتر به نام $f({\varepsilon _k})$ جایگزین می کنیم که این کار باعث افزایش سرعت محاسبات می شود . این جایگزینی به روش های مختلف انجام می گیرد که تحت عنوان روش های هموار سازی یا smearing نامیده می شود و ذیلاً به بعضی از آنها می پردازیم :
روش های هموار سازی (smearing ) :
الف : روش دمای غیر صفر( Finite temperature approach ):
( به کار گیری تابع فرمی دیراک مربوط به دمای غیر صفر )
ب : هموار سازی گاوسی (Gaussian smearing ):

روش دمای غیر صفر :
در این روش به جای به کار گیری تابع پله ای $\theta (\varepsilon - \mu )$ از تابع توزیع فرمی دیراک مربوط به دمای غیر صفر استفاده می کنیم لذا :

$\sum\limits_k {\;{w_k}\,{\varepsilon _k}\,\theta ({\varepsilon _k} - \mu )\quad \to \quad \sum\limits_k {\,{w_k}\,{\varepsilon _k}\,f(\frac{{{\varepsilon _k} - \mu }}{\sigma })} }$

که در آن :

$f(\frac{{{\varepsilon _k} - \mu }}{\sigma })\; = \;\frac{1}{{{e^{(\frac{{{\varepsilon _k} - \mu }}{\sigma })}} + 1}}\quad ,\quad \sigma = {k_{BT}}$

$\sigma$ به نام پارامتر هموار سازی ( smearing parameter ) نامیده می شود و می توان آن را معادل دمای غیر صفر نسبت داده شده به سیستم تعبیر کرد .

در چنین حالتی دیگر انرژی E نسبت به عدد اشغال f از اصل وردش تبعیت نمی کند بلکه انرژی آزاد F به عنوان تابع وردشی جدید مطابق رابطه زیر خواهد بود:

$F = E - \sigma \,s\,(f)$

که

$s\; = \; - f\,Lnf + (1 - f)\,Ln(1 - f)$

انتروپی یک سیستم الکترونی غیر بر هم کنشی در دمای غیر صفر T است.

هموار سازی گاوسی (Gaussian smearing ) :
در این روش برای هر تراز انرژی یک پهنا در نظر می گیریم و یک تابع گاوسی به آن نسبت می دهیم (انرژی آن تراز مشخص کننده مرکز تابع گاوسی است ) و عدد اشغال مربوط به آن تراز بخشی از تابع گاوسی است که زیر سطح فرمی قرار دارد.

تابع گاوسی به صورت زیر تعریف می شود:

$g(\varepsilon )\; = \;\frac{1}{{\sqrt {2\pi } \,\sigma }}\;\exp \left[ {\frac{{ - {{({\varepsilon _f} - \varepsilon )}^2}}}{{2{\sigma ^2}}}} \right]$

$\sigma$ : پهنای گاوسی است .
عدد اشغال عبارت است از :

$f(\frac{{\varepsilon - {\varepsilon _f}}}{\sigma }) = \int\limits_{ - \infty }^{{\varepsilon _f}} {g(\varepsilon )d\varepsilon } = \frac{1}{2}\left[ {1 - erf(\frac{{\varepsilon - {\varepsilon _f}}}{\sigma })} \right]$

نکات قابل توجه در روش گاوسی:

1- انرژی کل یک کمیت وردشی نیست (سیستم در حالت تعادل کمینه آن را ندارد ). بلکه انرژی آزاد تعمیم یافته کمیت وردشی است که به صورت زیر نوشته می شود:

$F = E - \sum\limits_k {\,{w_k}\,\sigma \,{\kern 1pt} s\,({f_k})}$

در چنین حالتی نیرو مشتق F است و نه E
2- در این روش همگرایی نسبتاً سریعی بر حسب تعداد نقاط k (در مورد فلزات ) حاصل می شود. ضمناً انتخاب پارامتر در این روش و نیز در روش تابع توزیع فرمی دیراک بایستی با دقت انجام گیرد. اگر بزرگ انتخاب شود انرژی سیستم E حتی به ازاء تعداد k های زیاد غلط به دست می-آید و اگر کوچک انتخاب شود سرعت همگرایی کاهش می یابد.

روش تترا هدران خطی (Linear tetrahedron Method ) :

روش دیگری که در مورد فلزات به کار می رود و این امکان را می دهد که سطح فرمی را بادقت تعیین کنیم روش تترا هدران است . در این روش ناحیه بریلوئن به چهار وجهی هایی (tetrahedron ) تقسیم می شود به گونه ای که در هر راس این چهار وجهی ها یکی از نقاط k گزینش شده قرار دارند. حال با درون یابی (inter polation ) مقادیر k را در درون چهار وجهی ها تعیین می کنیم. نتیجه این روش آن است که در نواحی حساس ( حوالی سطح فرمی ‌) که تعداد k های بیشتری انتخاب شده است محاسبات نیز دقیقتر انجام گیرد.

روش چادی و کوهن ( chadi & cohen ) برای گزینش نقاط k :

فرض کنید $F(\underline k )$ تابعی تناوبی در فضای وارون است یعنی $F(\underline k ){\rm{ }} = {\rm{ }}F(\underline k + \underline G )$ و ما می خواهیم از این تابع در سرتاسر BZ میانگین گیری کنیم یعنی می خواهیم رابطه زیر را محاسبه کنیم:

(1) $\begin{equation*} {F_0} = \;\frac{1}{N}\;\sum\limits_{\underline k }^{BZ} {\;F(\underline k )} \end{equation*}$

با توجه به این که دوره تناوب F در فضای فوریه یعنی $\underline G$ بردار شبکه وارون است لذا تابع $F(\underline k )$ را می توان به صورت زیر بسط داد:

$F(\underline k ) = \,\sum\limits_{{{\underline t }_m}} {\,{F_m}\,} {e^{i\,\underline k .{{\underline t }_m}}}$

t_m بردار انتقال شبکه در فضای معمولی $(\underline r )$ است. رابطه اخیر را می توان به صورت زیر نیز نوشت:

(2) $\begin{equation*} F(\underline k ) = \,{F_0} + \,\sum\limits_{{t_m} \ne 0} {\,{F_m}\,{e^{i\,\underline k .{{\underline t }_m}}}} \end{equation*}$

F₀ و F_m ضرایب فوریه هستند.
حال اگر طرفین رابطه (2) را بر روی کلیه بردار های مجاز $\underline k$ در ناحیه اول بریلوئن جمع ببندیم و سپس حاصل را بر تعداد نقاط k یعنی N تقسیم کنیم خواهد شد:

$\frac{1}{N}\;\sum\limits_k^{BZ} {\,F(\underline k ) = \,{F_0} + \,\sum\limits_{{t_m} \ne 0} {\,{F_m}\,\sum\limits_k^{BZ} {\,{e^{i\,\underline k .{{\underline t }_m}}}} } }$

با توجه به تناوبی بودن بلور می توان ثابت کرد که :

${\rm{if}}\quad \quad {t_m} \ne 0\quad \Rightarrow \quad \sum\limits_k^{BZ} {\,{e^{i\,\underline k .{{\underline t }_m}}}} = 0$

لذا در طرف دوم فقط F₀ باقی می ماند و لذا :

$\frac{1}{N}\,\sum\limits_k^{BZ} {\,F(\underline k )\, = \,{F_0}}$

و این همان رابطه (1) قبلی است . بنابر این اگر هدف محاسبه دقیق میانگین F باشد بایستی تعداد بسیار زیاد نقاط k در نظر بگیریم و تنها در چنین صورتی رابطه $\frac{1}{N}\,\sum\limits_k^{BZ} {\,F(\underline k )\, = \,{F_0}}$ برقرار است.
واقعیت آن است که بکارگیری تعداد زیاد k زمان محاسبات را افزایش می دهد لذا به دنبال روش-های میان بر هستیم. در بسیاری از موارد ضرایب فوریه در بسط ( ضرایب F_m در رابطه (2) ) فقط به بزرگی $\left| {{{\underline {\,t} }_m}{\kern 1pt} } \right|$ بستگی دارند و لذا رابطه (2) را می توان به صورت زیر نوشت:

$F(\underline k ) = {F_0} + {F_1}\,\sum\limits_{{{\underline {{t_i}} }^{(I)}}} {\,{e^{i\,\underline k .{{\underline {{t_i}} }^{(i)}}}}} + {F_2}\,\sum\limits_{{{\underline {{t_i}} }^{(II)}}} {\,{e^{i\,\underline k .{{\underline {{t_i}} }^{(II)}}}}} + ...$

${\underline {{t_i}} ^{(I)}}$ بردارهایی هستند که اتم مرکزی را به اولین همسایگان وصل می کند و ${\underline {{t_i}} ^{(II)}}$ بردارهایی که اتم مرکزی را به دومین همسایگان وصل می کند و …

از طرف دیگر می دانیم در بسط فوریه تابعی نظیر $F(\underline k )$ ضرایب بسط با افزایش بردار ${\underline t _m}$ کاهش می یابد. لذا از یک بردار ${\underline t _m}$ به بعد می توان ضرایب F_m را صفر در نظر گرفت.
این امر شبیه انرژی قطع است که در بسط توابع موج بر حسب امواج تخت به کار می رود. حال اگر برای سادگی از ضرایب بعد از F₁ صرف نظر کنیم خواهیم داشت:

$F(\underline k ) = {F_0} + {F_1}\,\sum\limits_{{{\underline {{t_i}} }^{(I)}}} {\,{e^{i\,\underline k .{{\underline t }_i}^{(i)}}}}$

اینک اگر یک مجموعه متشکل از n_s نقطه k در ناحیه اول بریلوئن یعنی {k_s} به گونه ای انتخاب شوند که شرط زیر را به ازاء هر بردار انتقال ${\underline {{t_i}} ^{(I)}}$ مربوط به اولین پوسته ( نزدیکترین همسایگان ) ارضا نمایند :

$\sum\limits_{\underline k \in \{ {{\underline k }_s}\} } {\,{e^{i\,\underline k .{{\underline {{t_i}} }^{(I)}}}}} = 0$

در آن صورت میانگین $F(\underline k )$ یعنی F₀ عبارت خواهد شد از:

$\begin{array}{l} F(\underline k ) = {F_0} + {F_1}\,\sum\limits_{{{\underline {{t_i}} }^{(I)}}} {\,{e^{i\,\underline k .{{\underline {{t_i}} }^{(I)}}}}} \\ \; \Rightarrow \;\frac{1}{{{n_s}}}\,\sum\limits_{k \in \{ {k_s}\} } {\,F(\underline k ) = {F_0} + {F_1} \cdot \frac{1}{{{n_s}}}\,\sum\limits_{{t_i}^{(I)}} {\underbrace {\sum\limits_{\underline k \in \{ {{\underline k }_s}\} } {\,{e^{i\,\underline k .{{\underline {{t_i}} }^{(I)}}}}} }_0} \; \Rightarrow \;{F_0} = \frac{1}{{{n_s}}}\,\sum\limits_{\underline k \in \{ {{\underline k }_s}\} } {\,F\,(\underline k )} } \end{array}$

به این ترتیب با میانگین گیری $F(\underline k )$ بر روی تعداد محدودی از نقاط k در واقع F₀ حاصل می شود و F₀ میانگین $F(\underline k )$ در کل ناحیه اول بریلوئن است .

${F_0} = \frac{1}{N}\,\sum\limits_{\underline k }^{BZ} {\,F(\underline k )\; = \;\frac{1}{{{n_s}}}\,\sum\limits_{\underline k \in \{ {{\underline k }_s}\} } {F(\underline k )} }$

مثال :
بلور مکعبی ساده : در این بلور هر نقطه شبکه 6 همسایه اول دارد که پوسته اول را تشکیل می دهد. این 6 همسایه با 6 بردار ${\underline {{t_i}} ^{(I)}}$ به صورت زیر مشخص می شوند:

حال اگر تنها دو بردار طبق مشخصات زیر انتخاب کنیم :

$\underline {{k_1}} = \frac{\pi }{a}(\,\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\,)\quad \quad \quad ,\quad \quad \quad \underline {{k_2}} = - \frac{\pi }{a}(\,\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\,)$

در این صورت شرط $\sum\limits_{\underline k \in \{ {{\underline k }_s}\} } {\,{e^{i\,\underline k .{{\underline {{t_i}} }^{(I)}}}}} = 0$ به ازاء هر یک از 6 بردار ${\underline {{t_i}} ^{(I)}}$ ارضا می شوند چرا که :

$\sum\limits_{\underline k \in \{ {{\underline k }_s}\} } {{e^{i\underline k \cdot {{\underline t }_i}^{(2)}}}} = {e^{i\frac{\pi }{a}(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}) \cdot (a,0,0)}} + {e^{ - i\frac{\pi }{a}(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}) \cdot (a,0,0)}} = {e^{i\frac{\pi }{a}}} + {e^{ - i\frac{\pi }{a}}} = 0$

به همین ترتیب به ازاء ${\underline {{t_i}} ^{(I)}} = \;(0,\,0,\, \pm a)$ و نیز $(\,0\,,\, \pm a\,,\,0\,),(\,0\,,\,0\,,\, \pm a\,)$ همین نتیجه حاصل می شود. لذا می توان نتیجه گرفت که :

${F_0} = \frac{1}{{{n_s}}}\,\sum\limits_{\underline k \, \in \,\{ \underline {{k_s}} \} } {F(k)} = \,\frac{1}{2}\,\left[ {F({{\underline k }_1}) + F({{\underline k }_2})} \right]$

منظور نمودن دیگر همسایگان (همسایگان دورتر) در بلور مکعبی:
در همین بلور مکعبی اولین همسایگان به تعداد 6 و با بردارهای $(\, \pm a\;,\;0\;,\;0\,)\;,\;(\,0\;,\; \pm a\;,\;0\,)\;,\;(\,0\;,\;0\;,\; \pm a\,)$ مشخص می شوند. دومین همسایگان به تعداد 12 و با بردارهای $( \pm a\,,\, \pm \;a\;,\;0)\;,\;( \pm a\;,\;0\;,\; \pm a)\;,\;(0\;,\; \pm a\;,\; \pm a)$ و سومین همسایگان به تعداد 8 و با بردارهای $( \pm a\;,\; \pm a\;,\; \pm a)$ مشخص می شوند. لذا می توان نوشت :

$F(\underline k ) = {F_0} + \sum\limits_{{{\underline t }_m} \ne 0} {\,{F_m}{e^{i\,\underline k .{{\underline t }_m}}}}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \;F(\underline k ) = \,{F_0} + 2{F_1}\,(\,Cos\,{k_x}\,a + Cos\,{k_y}\,a + Cos\,{k_z}\,a\,) + \\ 4{F_2}\,(Cos\,{k_x}\,a\;Cos\,{k_y}\,a + Cos\,{k_x}\,a\;Cos\,{k_z}\,a + ...)\\ + 8{F_3}\,(Cos\,{k_x}\,a\;Cos\,{k_y}\,a\;Cos\,{k_z}\,a + ...) \end{array}$

در عبارت اخیر دیده می شود که تنها یک نقطه k ( که به آن نقطه Baldereschi گفته می شود ) قادر است سهم همسایگان اول و دوم و سوم را صفر کند و آن نقطه ${K_B} = \frac{\pi }{a}(\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{1}{2})$ است . لذا در این حالت می توان نوشت :

${F_0} = F({\underline k _B})$

به این ترتیب نتیجه می شود که با استفاده از تقارن بلور می توان تعداد معدودی نقطه k انتخاب و با محاسبه تابع F در همان نقاط معدود میانگین F را در کل ناحیه اول بریلوئن بدست آورد.

TAGانتگرال گیری روش گاوسي منطقه اول بریلوئن

مطلب قبلیآموزش کد محاسباتی سیستا (نوشتن مختصات به فرم z-matrix - مولکول متان) مطلب بعدیزنجیره کیتایف و تناظر بالک-لبه

سجاد حمره

بنده دانشجوی دکترای فیزیک ماده چگال از دانشگاه تربیت مدرس تهران هستم. حوزه مورد علاقه من فیزیک محاسباتی (به طور خاص نظریه تابعیت چگالی) و همچنین سیستم های توپولوژیک است.

There are no comments yet

سلام , مهمان
خروج
ورود

مرا به خاطر بسپار

Or use one of these social networks