اندرکنش RKKY (مروری جامع)

اندرکنش تبادلی غیر مستقیم یا RKKY، نخستین بار توسط Ruderman و Kittel و سپس توسط Kasuya وYosida برای توصیف برهم کنش های اسپینی مطرح شد و به نظم فرومغناطیس بلند برد انجامید. این اندرکنش، گشتاورهای مغناطیسی را در فواصل نسبتا زیاد جفت می کند و در فلزاتی که همپوشانی مستقیم الکترون های اتم های مجاور، کم یا وجود ندارد؛ این اندرکنش غالب می-باشد. این اندرکنش از طریق یک واسطه که در فلزات الکترون های رسانس می باشند؛ عمل می-کند. تئوری RKKY بر مبنای تابع موج بلاخ می باشد و لذا تنها برای سیستم های بلورین(کریستالی) قابل کاربرد است. در عناصر خاکی نادرکه الکترون های پوسته4f بوسیله ی سپرالکترون5p و 5s پوشانده شده اند؛ فاصله ی بین یونی نسبت به توزیع شعاعی اوربیتال های 4f بسیار زیاد می باشد و لذا همپوشانی این اوربیتال ها در اتم های مجاور ناچیز بوده و لذا اندرکنش تبادلی مستقیم در این عناصر نسبتا ضعیف و ناچیز بوده و اندرکنش تبادلی غیرمستقیم، غالب خواهد بود. این اندرکنش همچنین در فلزات لانتانیدی و فلزات گروه آهن و بعضی از ترکیبات و آلیاژها اهمیت قابل ملاحظه ای دارد. این اندرکنش دربردارنده ی برهمکنش میان الکترون های رسانش با گشتاورهای جایگزیده مرتبط با الکترون های 4f می باشد. به بیان ساده تر جفت شدگی اسپینی میان الکترون های f از طریق الکترون های رسانش (اساسا نوع S) که قویا به الکترون های اوربیتال f جفت شده اند؛ صورت می-گیرد و در واقع الکترون های رسانش می توانند واسطه اندرکنش تبادلی غیر مستقیم میان اسپین ها شوند. مکانیزم جفت شدگی مغناطیسی بین گشتاور های مغناطیسی جایگزیده، به قدرت الکترون-های رسانش در برهمکنش مغناطیسی با گشتاور های مغناطیسی جایگزیده و انتشار آن بین سایت های مغناطیسی مختلف بستگی دارد. اولین بار زنر فرضیه ی قطبش الکترون های رسانش را مطرح کرد و به دنبال آن رادرمن و کیتل با درنظرگرفتن اختلال مرتبه ی دوم چگونگی قطبش الکترون های رسانش و انتشار آن را توضیح دادند. در نهایت کاشویا در مورد فلزات لانتانیدی و یوشیدا در مورد فلزات واسطه به کار گرفتند. نظریه RKKY بر پایه مفروضات زیر می باشد:
1. توابع موج الکترون های لایه ی داخلی(4f) به دلیل جایگزیدگی بصورت اتمی بوده و هیچ گونه همپوشانی با توابع موج همسایه ندارد.
2. تابع موج الکترون های رسانش بصورت تابع موج بلاخ است.
3. برهم کنش بین الکترون های رسانش و یون مغناطیسی (الکترون4f) از نوع هامیلتونی هایزنبرگ H =  - 2J(0){\vec S_i}.{\vec S^'} می باشد که در آن {\vec S_i} و {\vec S^\prime } به ترتیب اسپین الکترون رسانش و یون و J(0) انتگرال تبادل بین الکترون رسانش و ممان یون می باشد.
4. انتگرال تبادلی بین الکترون های رسانش و یون های مغناطیسی، مستقل از چگالی الکترونی است.
چون الکترون های هدایت فقط به اتم های نزدیک ترین همسایه محدود نمی شوند؛ لذا اندرکنش تبادلی غیرمستقیم از نوع بلند برد است. بنابراین انتظار می رود اندرکنش تبادلی غیرمستقیم با اندرکنش مستقیم اسپین های الکترون های رسانش و اسپین های جایگزیده متناسب باشد و بزرگی آن به صورت \frac{1}{{{R^3}}} کاهش یابد که در آن R فاصله ی میان سایت های مغناطیسی است. در نتیجه ی این جفت-شدگی f-s درون اتمی، الکترون های f یک مکان داده شده می توانند بطور قوی اسپین الکترون های رسانشی نزدیک خود را قطبیده (پلاریزه) کنند. این قطبش موضعی سبب تعدیل چگالی های الکترونی در باند می شود که برای اسپین های بالا وپایین متفاوت است. یک یون مغناطیسی دیگر که در مکان خاصی از این یون قرار دارد از الکترون های رسانش دیگری که اسپین همجهت با آن دارند؛ تاثیر می پذیرد. اثر ميانگيني که برهمکنش مغناطيسي روي الکترونهاي آزاد مي گذارد باعث اعوجاج تابع موج الکترونهاي (رسانش) موازي در اطراف يون مغناطيسي شده که حاصل آن همپوشاني توابع موج الکترونهاي موازي و ایجاد ترازهاي جديدي در بالاي سطح فرمي خواهد بود و به سبب هم فاز بودن توابع موج حالتهاي جديد روي مکان يون مغناطيسي، دامنه تابع موج در آن مکان بسيار بزرگ خواهد شد و برای الکترونهاي رسانشي که اسپين آنها پاد موازي با ممان مغناطيسي است در نزديکي ممان مغناطيسي ؛ تداخل ویرانگر است (شکل 1). لازم به ذکر است به دليل آنکه تغييرات تعداد الکترونهاي با اسپين موازي در اطراف هسته با تغييرات الکترونهاي پاد موازي برابر است؛ توزيع بار الکتريکي در اطراف يون مغناطيسي بهم نمي خورد. حال اگرگشتاور جایگزیده ديگري در فاصله دلخواهي از اولی قرار گيرد؛ بسته به فاصله ی بین ایندو، بر هم کنش فرومغناطيس يا آنتی فرومغناطیس خواهد بود. اين مدل به خوبي مي تواند برهم کنش بين ترازهاي 4fدر لانتانيدها را توضيح دهد؛ اما نکته اي بايد به آن توجه شود آن است که در اين مدل اسپينها بايد در يک راستا قرار داشته باشند و در واقع تنها با اين مدل مي توان مغناطيس خطي را توضيح داد و براي توصيف مغناطيس غير خطي که در لانتانيدهاي سنگين بروز مي کند نيازمند تصحيحات قابل توجهي است.

wave_function_interacting_electrons

شکل 1. تابع موج برهم کنشی الکترون های رسانش نزدیک ممان مغناطیسی(a) . برهم نهی چگالی اسپینی الکترون-های رسانش (b) .
با توجه به مطالب قبلی، اندرکنش تبادلی کل به صورت زیر می باشد:

(1)   \begin{equation*}  {{\rm H}_{ex}}^{Total} =  - \sum\limits_{i,\alpha } {{J_x}({r_i} - {R_\alpha }){{\vec S}_\alpha }.{{\vec S}_i}} \end{equation*}

که در آن {\vec S_\alpha } اسپین یون و {\vec S_i} اسپین الکترون رسانش می باشد.

(2)   \begin{equation*}  J = \int {{J_x}(r - {R_\alpha })dr} \end{equation*}

(3)   \begin{equation*}  {J_x}({r_i} - {R_\alpha }) = J\delta (r) \end{equation*}

که درآن r = {r_i} - {R_\alpha } می باشد. بنابراین اندرکنش میان الکترون رسانش با یون \alpha به صورت زیر خواهد بود:

(4)   \begin{equation*}  {{\rm H}_{ex}} =  - J{\vec S_\alpha }.{\vec S_i}\delta (r) \end{equation*}

عبارت {S_i}\delta (r) را می توان به عنوان چگالی اسپینی الکترون رسانش در نظر گرفت. اکنون اندرکنش میان اسپین یون {\vec S_\alpha } با اسپین رسانش {\vec S_i} (در دستگاه گوسی، {\mu _0} = 1) به صورت زیر است.

(5)   \begin{equation*}  - J{S_\alpha }.{S_i}\delta (r) =  - ( - g{\mu _B}{S_i}).{H_{eff}}(r) \end{equation*}

که در آن هامیلتونی موثر H_{eff} به صورت :

(6)   \begin{equation*}  {H_{eff}} =  - \frac{{J{S_\alpha }}}{{g{\mu _B}}}\delta (r) \end{equation*}

(7)   \begin{equation*}  {H_{eff}}(q) = \int {{H_{eff}}(r){e^{ - iq.r}}dr = }  - \frac{{J{S_\alpha }}}{{g{\mu _B}}} \end{equation*}

رابطه ی میان پذیرفتاری مغناطیسی و مغناطش القایی ناشی از میدان موثر (در فضای فوریه) به صورت می باشد كه معادله پاسخ مغناطش گاز الکترون آزاد به یک میدان مغناطیسی \chi (q) = \frac{{M(q)}}{{H(q)}} می باشد که در T = 0 شبیه پاسخ به میدان الکتریکی می باشد .

(8)   \begin{equation*}  \chi (q) = \frac{{3{g^2}{\mu _B}^2}}{{8{E_F}}}.\frac{N}{V}A({\raise0.7ex\hbox{$q$} \!\mathord{\left/ {\vphantom {q {2{k_F}}}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} \!\lower0.7ex\hbox{${2{k_F}}$}}) \end{equation*}

که درآن \frac{N}{V} تعداد الکترون ها در واحد حجم و A(\frac{q}{{2{k_F}}}) = \frac{1}{2} + \frac{{{k_F}}}{{2q}}\left\{ {1 - \frac{{{q^2}}}{{4{k_F}^2}}} \right\}\ln \left| {\frac{{2{k_F} + q}}{{2{k_F} - q}}} \right| می باشد.
با استفاده از روابط فوق می توان مغناطش الکترون های رسانش را بدست آورد:

(9)   \begin{equation*}  M(r) = \frac{1}{V}\sum\limits_q {M(q){e^{iq.r}} = } \frac{1}{V}\sum\limits_q {\chi (q){H_{eff}}(q){e^{iq.r}} = }  - \frac{J}{{g{\mu _B}V}}{S_\alpha }\sum\limits_q {\chi (q){e^{iq.r}}} \end{equation*}

می توان رابطه اخیر را به شکل M(r) = \frac{{ - J}}{{g{\mu _B}}}KG(r){S_\alpha } بیان نمود که در آن K = \frac{{3{g^2}{\mu _B}^2N\mathop {{k_F}}\nolimits^3 }}{{8{E_F}V16\pi }} و G(r) = \frac{{\sin (2{k_F}r) - 2{k_F}r\cos (2{k_F}r)}}{{{{({k_F}r)}^4}}} مي باشد. بنابراین گشتاورجایگزیده {S_\alpha }، قطبش نوسانی اسپین های رسانش را در نزدیکی آن یون سبب می شود. حال فرض کرده G(r)=16F(2k_F r) باشد كه F(x) تابعی است که بیانگر قطبش نوسانی فضایی ایجاد شده توسط یک گشتاور جایگزیده در نزدیکی آن می باشد(شكل 2).

fx_3

شکل 2. تغییرات تابع F(x) بر حسب x
حال اگر چگالی اسپینی S(r) باشد:

(10)   \begin{equation*}  S(r) = \frac{{M(r)}}{{ - g{\mu _B}}} = \frac{J}{{{{(g{\mu _B})}^2}}}KG{S_\alpha } \end{equation*}

در این صورت اسپین یونی جایگزیده ی دیگر {S_\alpha } با S(r) اندرکنش خواهد کرد :

(11)   \begin{equation*}  {{\rm H}^{indirect}} =  - J{S_\beta }.S({r_\alpha } - {r_\beta }) \end{equation*}

حال با جمع بندی روی همه ی اندرکنش های \alpha و \beta( با اجتناب از دوبار محاسبه در شماره اسپین ها ) بدست می آوریم :

(12)   \begin{equation*}  {{\rm H}_{RKKY}} =  - \frac{1}{2}\sum\limits_{\alpha ,\beta } {{J_{\alpha \beta }}{S_\alpha }.{S_\beta }} \end{equation*}

(13)   \begin{equation*}  {J_{\alpha \beta }} = \frac{{{J^2}}}{{{{(g{\mu _B})}^2}}}KG(r = {r_{\alpha \beta }}) \end{equation*}

برای جفت شدگی اسپین-مدار هامیلتونی را بر حسب اندازه حرکت زاویه ای کل J بیان می کنند:

(14)   \begin{equation*}  {{\rm H}_{RKKY}} =  - \frac{1}{2}{({g_J} - 1)^2}\sum\limits_{\alpha ,\beta } {{J_{\alpha \beta }}{J_\alpha }.{J_\beta }} \end{equation*}

که در آن {J_\alpha } گشتاور زاویه ای کل مرتبط با مکان \alpha می باشد. همانطور که در شکل(3) مشاهده می کنید ضریب تبادلRKKY بسته به فاصله ی بین اتمی از مثبت به منفی نوسان می کند و دارای طبیعت نوسانی میرا می باشد.

j_variation

شکل 3. تغییرات جفت شدگی تبادلی غیر مستقیم j ، از یک گاز الکترون آزاد در نزدیکی یک ممان مغناطیسی نقطه-ای در مبدا r=0
بسته به فاصله ی بین یونی، جفت شدگی مغناطیسی آنها می تواند FM یا AFM باشد. یون مغناطیسی یک قطبش اسپینی در الکترو ن های رسانش مجاورش ایجاد می کند که این قطبش اسپینی الکترون-های رسانش برای سایر یون های مغناطیسی همسایه محسوس بوده و منجر به جفت شدگی تبادلی غیر مستقیم می شود.

 

TAG

بنده دانشجوی دکترای فیزیک ماده چگال از دانشگاه تربیت مدرس تهران هستم. حوزه مورد علاقه من فیزیک محاسباتی (به طور خاص نظریه تابعیت چگالی) و همچنین سیستم های توپولوژیک است.


پاسخ دهید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

This site is protected by wp-copyrightpro.com