بارها در طول تاریخ فیزیک پیش آمده یک پدیده واقعا جدید برای توصیف به یک ریاضیات جدید نیاز داشته باشد. در واقع ظهور ریاضیات جدید نشانی از یک کشف واقعا جدید است. برای مثال، نظریه نیوتن در رابطه با مکانیک نیاز به حساب دیفرانسیل و انتگرال (که برای همین منظور ابداع شد) دارد. نظریه انیشتین درباره نسبیت عام نیاز به هندسه ریمانی دارد. نظریه کوانتومی به جبر خطی نیاز دارد. هنگامی که نیوتن در حال توسعه نظریه خود بود، ریاضیات هنوز ابداع نشده بود. نیوتن مجبور بود که حساب دیفرانسیل و انتگرال را برای توصف نظریه خود ابداع کند.
Xiao-Gang Wen
در حال حاضر، ما با یک وضعیت مشابه روبرو هستیم. این یک زمان هیجان انگیز در فیزیک است.
برای مدت زمان طولانی، ما فکر می کردیم که تفاوت فاز های مواد توسط الگوهای شکست تقارن توصیف می شوند که توسط نظریه گروه شرح داده شده است. در حال حاضر ما می دانیم که بسیاری فازهای کوانتومی جدید از مواد وجود دارند که فراتر از شکست تقارن هستند. این فاز های جدید توسط الگوهای درهم‌تنیدگی کوانتومی بس ذره ای توصیف شده اند.
در فیزیک ماده چگال، درهم‌تنیدگی بس ذره ای منشأ بسیاری از حالت های مواد کوانتومی است (که به عنوان حالت های منظم توپولوژیکی از آنها یاد می شود، مانند مایع اسپینی و حالت های هال کوانتومی)، که میزبان پیدایش میدان های پیمانه ای است و باعث ظهور آمار فرمی و کسری شده است. ممکن است که خلاء ما یک سیستم درهم تنیده (بلند برد) باشد که خود موجب ظهور میدان های پیمانه ای است و فرمیون ها ذرات بنیادی در مدل استاندارد هستند. این تصویر پیدایشی یک اتحاد بین برهم کنش پیمانه و فرمیون ها را نشان می دهد (اینجارا ببینید).
درهم‌تنیدگی بس ذره ای حقیقا یک پدیده جدید است و به یک ریاضیات جدید برای توصیف آن نیاز است. اما چه ریاضیاتی الگوی درهم‌تنیدگی بس ذره ای را توضیح می دهد ( و فاز های منظم توپولوژیکی را دسته بندی می کند)؟ آیا ریاضی دانان در حال حاضر ریاضیات صحیحی برای درهم‌تنیدگی بس ذره ای یافته اند، یا ما نیاز خودمان نیاز به کشف ریاضیات جدید داریم؟
برای پاسخ به این پرسش، باید در نظر داشته باشیم، اخیرا کشف شده است که حالت های بس ذره کوانتومی ( یا درهم‌تنیدگی بس ذره ای) را می توان به دو قسمت حالت های درهم تنیده کوتاه برد و حالت های درهم تنیده بلند برد تقسیم کرد.
فاز های کوانتومی با درهم‌تنیدگی بلند برد اشاره به فاز های منظم توپولوژیکی اشاره دارند. در فضا دوبعدی، ما درک کاملا خوبی از حالت های درهم تنیده بلند برد داریم، که میتوان آن را توسط نظریه رسته‌ تانسوری مدولار یکانی توصیف کرد. نظم های توپولوژیکی دوبعدی با مرز های گاف دار را می توان توسط نظریه رسته‌ ادغام یکانی توضیح داد (اینجا را ببینید). نظم توپولوژیکی در ابعاد بالاتر کمتر شناخته شده است، که ممکن است نیاز به رسته‌ بالاتر برای توصیف آنها باشد.
اخیرا، ما یک درک سیستماتیک درباره فازهای کوانتومی با درهم تنیدگی کوتاه برد و تقارن G برای هر بعدی بدست آورده ایم (آن فاز هایی که فاز های بدیهی محافظت شده توسط تقارن(SPT) نامیده می شوند. اینجا را ببینید) . زیر مجموعه بزرگتری از حالت های SPT می تواند توسط نظریه گروه کوهومولوژی بورل مربوط به گروه تقارن توصیف کرد.
فاز های کوانتومی با درهم‌تنیدگی کوتاه برد که تقارن را می شکنند شبیه حالت های شکست تقارن لاندائو هستند، که می توان آنها را توسط نظریه گروه توصیف کرد.
بنابراین، برای درک حالت های شکست تقارن، فیزیک دانان مجبورند نظریه گروه را یاد بگیرند. به نظر می رسد برای درک الگوی درهم تنیدگی بس ذره ای که به نظم توپولوژیکی یا نظم SPT اشاره دارند، فیزیک دانان باید نظریه رسته‌ تانسوری و نظریه گروه کوهومولوژی را یاد بگیرند. در فیزیک بس ذره ای مدرن و در فیزیک ماده چگال مدرن، نظریه رسته‌ تانسوری و نظریه کوهومولوژی می توانند به اندازه نظره گروه مفید واقع شوند. روزی که دانشجویان فیزیک نیاز داشته باشند نظریه رسته‌ تانسوری و نظریه گروه کوهومولوژی را یاد بگیرند زیاد دور نیست.
آیا ریاضی دانان در حال حاضر ریاضیات صحیح برای درهم‌تنیدگی بس ذره ای را پیدا کرده اند؟ خوب، بعضی ریاضیات مرتبط پیدا شده است، اما ما یک ابزار کامل در این زمینه نداریم. برای دسته بندی الگوهای درهم‌تنیدگی بس ذره ای در سیستم های بوزونی در هر بعدی، ما نیاز به توسعه یک ریاضیات جدید داریم (و این یکی از مرز های ریاضیات است). اینک یک زمان هیجان انگیز در فیزیک و ریاضیات است.
لازم می دانم تاکید کنم که درهم‌تنیدگی بلند برد و ریاضیات جدید (مانند نظریه رسته بالاتر) تنها یک بازی نیست. ما می دانیم فاز های جدید ماده از درون آن بیرون می آیند. ما همچنین می دانیم که برهم کنش پیمانه ای و فرمیون ها (مانند الکترون ها و کوارک ها) می توانند از کیوبیت های در هم تنیده بلند برد ناشی شوند. بعضی افراد اعتقاد دارند که درهم‌تنیدگی بس ذره ای –> هندسه ممکن است منجر به گرانش کوانتومی شود. بنابراین:
کیوبیت های درهم تنیده بلند برد به ما می گویند: ماده <–>اطلاعات–> هندسه
نظریه کوانتومی به ما می گوید: انرژی <–> زمان/1، تکانه <–> هندسه
نسبیت به ما می گوید: زمان <–> طول
بله فلش هایی که اشیاء را به هم مرتبط می کند <–> یک نظریه رسته است.
اینک یک زمان هیجان انگیز برای ریاضیات و فیزیک است.