فرمیون های کسری و مایورانا: فیزیک مد های انرژی صفر (بخش اول)

در این مقاله ما وقوع و نقش فیزیکی مد های انرژی صفر در معادله دیراک با یک زمینه غیر بدیهی توپولوژیکی بحث می‌شود.

FRACTIONAL AND MAJORANA FERMIONS:

The Physics of Zero Energy Modes

R. Jackiw

Center for Theoretical Physics

Massachusetts Institute of Technology

Cambridge, MA 02139

هدف من توصیف حالت های جدید ماده است که، در ابتدا طی تحقیقات کامل نظری با فرمالیسم ریاضی قابل استفاده در فیزیک مواجه شد و متعاقبا نگاه به سمت بعضی کشفیات در آزمایشات واقعی معطوف شد. اما در ابتدا میخواهم برخی پیشرفت های پیشرفته در فیزیک مانند کشف دیراک از پاد-ماده را یادآوری کنم.

دیراک به دنبال یک معادله کوانتوم مکانیکی و نسبیتی بود تا الکترون های آزاد با اسپین 1/2 را توصیف کند. او یک ماتریس معرفی کرد که دارای مشتق های مرتبه اول بود.

dirace

معادله دیراک یک معادله زیبای فیزیک ریاضی است. این معادله همچنین یک رابطه زیبا در ریاضیات است زیرا، همانطوری که دیراک خاطر نشان کرد، یک ریشه درجه دوم برای لاپلاسین معادله شرودینگر فراهم می کند و لاپلاسین بیشتر به عنوان یک عملگر ریاضی مطالعه شده است.

اما ریشه مربعی همراه دو علامت ظاهر می شود، و مقادیر ویژه انرژی E از عملگر دیراک هم مثبت خواهند بود، که خوب است هم منفی که نیاز به بازتفسیر دارد، زیرا الکترون های فیزیکی فقط انرژی مثبت حمل می کنند.

با ایمان به فرمالیسم ریاضی، دیراک معادله خود با مد های انرژی منفی را رد نکرد. به جای آن، او این مد ها را به عنوان پاد-الکترون با بار مخالف توصیف کرد. این گمانه زنی خیلی زود با کشف تجربی پوزیترون تأیید شد. بهیدی است حفظ ایمان با یک معادله زیبا، به طور خاص، جدی گرفتن طیف مقادیر ویژه، بدون توجه به اینکه ویژگی های آنها چه باشد، منجر به یک کشف فیزیکی خواهد شد.

دیگر هیچ خبری در مورد معادله اصلی دیراک نیست. تحقیقات جدید به خاطر معادله وی در شکل های مختلف توسعه و تغییر شکل یافتند. با این بسط ما تشویق می شود که بسمت سایر طیف های عجیب غریب برویم که از لحاظ ریاضیاتی جالب توجه هستند و تفسیر فیزیکی آنها نمود برانگیختگی های نو در سیستم های فیزیکی است.

تغییر شکل معادله دیراک از دو محرک ناشی می شود: ریاضی و فیزیک. ریاضی دانان با یک معادله زیبا روبه رو هستن که به صورت خوبه خودی شامل مورد های عمومی تر برای یک ساختار توسعه یافته تر است. به عبارت دیگر، بر فیزیکدانان ثابت شده است که معادلات شبه-دیراک برانگیختگی های انرژی پایین در سیستم های ماده چگال واقعی را توصیف می کنند.  این توصیف ها البته تقریبی هستند، اما این از مفید بودن آنها در یک محتوای محدود نمی کاهد. در نهایت، حتی معادله اصلی دیراک فقط یک رفتار تقریبی از الکترون های نسبیت فراهم می کند.

حرکت الکترون درون ماده محدود به کل حجم اشغال شده توسط نمونه است. اگر چه در برخی مواد حرکت الکترون به طور موثر محدود به یک خط یا صفحه است. به همان نسبت نیاز است معادله دیراک ما روی یک خسط یک بعدی یا روی یک صفحه دوبعدی به علاوه به حجم سه بعدی فرمول بندی شود.

 حتی قبل از وارد شدن به جزئیات، ما می توانیم درک کنیم که چگونه معادله دیراک مناسب با پدیده های ماده چگال مواجه می شود: مقادیر ویژه منفی و مثبت آن به ترتیب الکترون های رسانش آزاد و الکترون های ظرفیت مقید را مدل می کند. 

در حالت پایه مد های انرژی مثبت خالی هستند زیرا هیچ الکترون رسانشی وجود ندارد، در حالی که مدهای انرژی مثبت با الکترون های ظرفیت پر شده اند. جمله جرمی در معادله توسط مقدار مطلقش یک گاف بین نوار های ظرفیت و رسانش، مانند یک عایق (یک جمله جرمی صفر منجر به یک طیق بدون گاف می شود مانند یک رسانا) ایجاد می کند.

یک شکل ژرف دیگر معادله دیراک وقتی حاصل می شود که جمله ثابت جرمی با یک جمله ی غیر همگن که با مکان تغییر می کند جایگزین شود. فقط مواردی که به صورت قابل توجه متفاوت از مورد همگن هستند جالب توجه هستند زیرا وردش کوچک منجر به تغییرات کوچک می شود. برای انتخاب موارد جالب توجه ما آنها را به کلاس های مجزا تقسیم می کنیم. در این چنین دسته بنده از مفاهیم توپولوژی و هندسه استفاده می شود و جرقه ریاضیاتی را می زند که فیزیک دانان برای تفسیر فیزیکی جواب های معادله دیراک در حضور جمله های جرمی وابسته به مکان، که از لحاظ توپولوژیکی غیر بدیهی هستند، به دنبال آنها هستند.

نمونه هایی از این موارد که جمله همگن جرمی جایگزین می شود از این قبیل هستند: کلینک در یک بعد، ورتکس در دو بعد و تک قطبی مغناطیسی در سه بعد.

 معادله دیراک

eq1m

 معادله دیراک (جمله جرمی وابسته به زمان، همگن)

به طور معمول: جواب های پیوسته E<0 و E>0

معادله دیراک در حضور یه نقص ( جمله جرمی وابسته به مکان)

 eq2m

 m→Φ(r): میدان فونونی

مثال هایی از نقص ها

Examples of Defects

یاکیو، ربی و روسی معادله دیراک را در این پس زمینه غیر بدیهی توپولوژیکی مطالعه کردند. آنها دریافتند که در همه موارد طیف انرژی شامل مدهای انرژی مثبت و منفی مورد انتظار بود، اما علاوه بر آن یک سری مد های انرژی-صفر ایزوله هم وجود داشت. افزون بر این جواب های انرژی-صفر نیاز به یک فرم خاص برای پروفایل جرمی غیر همگن نداشت؛ تمام آنچه که مهم بود این بود که به یک کلاس توپولوژیکی غیر بدیهی تعلق داشت. به زودی مشخص شد که حضور مدهای انرژی-صفر ایزوله را میتوان با استفاده از نظریه های شاخص ریاضیاتی پیش بینی کرد، که وقع این مد ها را به توپولوژی پروفایل جمله جرمی و هندسه فضایی که معادله تعیین می کند مربوط می سازد.

این کشف آنها را تشویق کرد که به این باور برسند که ظرافت ریاضی جواب های انرژی-صفر،اهمیت فیزیک عمیق آنها را تضمین می کند. تنها کار باقیمانده توصیف نقش فیزیکی مد های صفر بود.

پلی اکتیلن

اولین و قدیمی ترین نمونه از این داستان ها مسئله پلی اکتیلن بود. این ترکیب یک آرایه خطی از اتم های کربن است که به اندازه یک آنگستروم از هم فاصله دارند. خطچین انرژی فرمی را مشخص می کند.

fmf_2

نموار انرژی سطح فرمی را در دو نقطه قطع می کند، که به آن نقاط دیراک می گویند، نزدیک این نقاط پاشندگی می تواند خطی باشد. بنابراین یک هامیلتونی موثر یک ماتریس 2 times 2 است که در p ضرب شده است، این بخش جمله جنبشی یک هامیلتونی دیراک یک بعدی را فراهم می آورد، اما این فقط نصف دستان است.

می دانیم که در پلی اکتیلن آرایه یکنواختی از اتم های کربن پایدار نیست. در حقیقت تعادل فقط زمانی حاصل می شود که اتم ها به اندازه 0.04 آنگستروم به چپ یا راست جابه جا شوند. هر دو حالت ممکن است، و منجر به دو ساختار هم ارز می شود. به این حالت ناپیداری پیرلز می گویند و در مدل هامیلتونی دیراک مؤثر به صورت یک جمله جرمی همگن که یک مقدار منفی یا مثبت میگیرد مدل می شود.

fmf_3

با این قدم ها به معادله شبه-دیراک برای پلی اکتلین می رسیم:

fmf_4

وقتی جمله جرمی غیر همگن باشد آن را میدان فنونی می نامیم، که مقدار غیر صفر آن شیفت اتم های کربن به واسطه ناپایداری پیلیرز را توصیف می کند.

انرژی ها و پروفایل ها میدان فونونی در زیر نمایش داده شده است.

fmpf

چگالی انرژی V(phi) به عنوان تابغی از یک میدان فونونی ثابت phi . نقطه ساکن متقارن، phi=0 ناپایدار است. پیکربندی پایدار در حالت A در phi=m+|m| و در حالت B در phi=-|m| رخ می دهد.

fmpf2

میدان های ثابت \pm \left| m \right| به دو ناحیه (A و B) اشاره می کنند. میدان های کینک-سالیتون، \pm \phi _s ، بین بود و نبود دیواره ها ناحیه ها درونیابی می کند.

نقش یک پروفایل جرمی به شکل پیچ خوردگی در این حالت آشکار می شود: این ها یک دیواره دامنه را توصیف می کند که بین جملات جرمی مثبت و منفی درونیابی می کند، که بین دو ناحیه یکسان پلی اکتیلن وجود دارد.

یک محاسبه ساده نشان می دهد که جزئیات شکل پیچ خوردگی هر چه که باشد، معادله دیراک در حضور یک پیچ خوردگی همیشه وجود یک حالت با انرژی صفر بهنجار را پشتیبانی می کند. اما در واقع هیچ محاسبه صریح بیشتری نیاز نیست به دلیل اینکه یک نظریه شاخص آن را تضمین می کند.

سوالی باقی می ماند و آن این است که چگونه با یک حالت انرژی صفر در ساخت حالت پایه ماده مواجه شویم. حالت می بایست خالی باشد، مانند حالت های انرژی مثبت، یا به حالت های پر شده با یعنی حالت های انرژی منفی تعلق دارد؟ دیراک در این باره هیچ حرفی برای گفتن نداشت، زیرا او در مورد مد های انرژی صفر نمی دانست.

بار کسری Q

یاکوب و ربی سوال را پاسخ دادند. از آنجا که تفاوت انرژی بین دو حالت وجود ندارد، هر دو باید در نظر گرفته شوند: خالی و پر. علاوه بر این بار Q (یا عدد فرمیونی) مربوط به حالت خالی 1/2- است، در حالی که حالت پر بار 1/2+ را حمل می کند. عدد کسری یک مقدار چشم داشتی نیست، اما یک ویژه مقدار شارپ است، که افت و خیزی در آن دیده نمی شود.

راه های زیادی برای اثبات این نتایج اعجاب انگیز وجود دارد. یک استدلال شهودی مبتنی برای این حقیقت است که هامیلتونی موثر ما حاوی یک تقارن مزدوج است، به شکلی که طیف انرژی حالت های پر همانند حالت های خالی است، اما با بار مخالف. به خاطر این تقارن حالت انرژی صفر ما در میان گاف قرار میگیرد و اختلاف بار بین حالت های پر و خالی یک خواهد بود. از آنجا که بارها فقط در علامت تفاوت دارند می بایست مقادیر \pm 1/2 را اختیار کنند.

در یک استدلال رسمی تر، ما یک عملگر بار می سازیم و بدست می آوریم:

    \[ Q=contribution\, of \, E\ne \, states\,+ \frac{1}{2} (a^{\dagger} a - a a^{\dagger}) \]

در اینجا a^{\dagger} و a عملگر های خلق و فنای مد های صفر هستند، که از روابط پاد جابه جاگری فرمیونی معمول تبعیت می کنند و روی حالت های خالی و پر آنها عمل می کنند.

    \[\begin{array}{c} {a^\dag }a + a{a^\dag } = 1\quad aa = 0\\ {a^\dag }\left| {empty} \right\rangle = \left| {filled} \right\rangle \\ a\left| {filled} \right\rangle = \left| {empty} \right\rangle \\ {a^\dag }\left| {filled} \right\rangle = 0\\ a\left| {empty} \right\rangle = 0\\ Q\left| {state} \right\rangle = \pm \frac{1}{2}\left| {state} \right\rangle \end{array}\]

نتیجه می دهد که Q=\pm 1/2 .

تأیید تجربی توسط شفر و همکارانش صورت گرفت زمانی که مشاهده کردند بار کسری برخی ویژگی های جدید پلی اکتیلن را توضیح می دهد. بدین ترتیب آنها واقعیت فیزیکی این پدیده ی غیر منتظره را تبیین کردند.

به عنوان یک نتیجه، فیزیک دانان ذهن خود را معطوف به وقوع بار کسری کردند. بنابراین زمانی که اثر هال کوانتومی به عنوان یک سیستم کوانتومی دو وجهی ظهور پیدا کرد، حالت های بار کسری به درک فیزیک مربوطه کمک کرد.

اما این کسری شدن از یک مکانیسم متفاوت ناشی می شود. معادله دیراکی وجود ندارد، نقص توپولوژیکی وجود ندارد، مهم تر از همه اثر هال کوانتومی در حضور میدان مغناطیسی وجود دارد، که ناوردانی وارونی زمان را می شکند، در حالی که معادله دیراک ما تقارن وارونیزمان را حفظ می کند.

بنابراین این سوال پیش می آید: فرای یک بعد آیا سیستم های فیزیکی وجود دارند که توسط معادله دیراک موثر توصیف شوند و منجر به بار کسری در حضور تقارن وارونی زمان شوند.

مسئله چالش برانگیز این حقیقت است که در ابعاد بالاتر سطح فرمی توسط یک سطح تعریف می شود و سطح مقطعش با پاشندگی انرژی یک منیفلد تعمیم یافته است، و بعید است که به یک تعداد محدود نقاط دیراک تبدیل شود.

اما بعد از آن سر و کله گرافن پیدا شد.

گرافن

گرافن یک آرایه دو بعدی از اتم های کربن در یک شبکه شش گوشی است. در واقع یک لایه تک اتمی از گرافیت است. شش ضلعی ها را می توان به عنوان یک برهم نهی از دو زیر شبکه مثلثی در نظر گرفت که هر کدام دو نقطه دیراک در اختیار دارد.

graphene

والاس در سال 1947 نشا

 


بنده دانشجوی دکترای فیزیک ماده چگال از دانشگاه تربیت مدرس تهران هستم. حوزه مورد علاقه من فیزیک محاسباتی (به طور خاص نظریه تابعیت چگالی) و همچنین سیستم های توپولوژیک است.


3 thoughts on “فرمیون های کسری و مایورانا: فیزیک مد های انرژی صفر (بخش اول)

  1. مجتبی

    با تشکر
    ممنون میشم منابع مرتبط رو هم معرفی بفرکایید تا دوستان بتونن به اونها مراجعه داشته باشند و کار شما هم مورد تایید قرار بگیره…
    با تشکر از زحمات شما

     

    [پاسخ]

    سجاد حمره پاسخ در تاريخ فروردین ۲۵ام, ۱۳۹۵ ۰۹:۴۴:

    البته بنده این کار رو انجام ندادم بلکه این مقاله یک مقاله مروری هستش که اصل اون رو هم پیوست کردم.

     

    [پاسخ]

    پاسخ

پاسخ دهید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *