یک سیستم کوانتومی با تعداد حالت های محدود N در نظر بگیرید. هامیلتونی چنین سیستمی را می توان با یک ماتریس H با ابعاد نمایش داد. این ماتریس هریمی است، یعنی . مقادیر حقیقی به مقادیر انرژی سیستم اشاره دارد:

که در آن ویژه حالت متناظر است. فرض کنید H یک نقطه کوانتومی کوچک با تعداد سطوح انرژی کم را توصیف می کند. می توانیم تصور کنیم که نقطه کوانتومی به صورت ضعیف با یک لید سربی در تماس است (شکل زیر)

حضور لید فلزی به ما اجازه می دهد که انرژی های حالت های الکترونی نقطه کوانتومی را نسبت به سطخ فرمی الکترون ها در لید فلزی اندازه گیری کنیم. در ادامه ما قرار می دهیم. بنابراین، تمام انرژی های منفی به حالت های پر در نقطه کوانتومی اشاره دارد و تمام انرژی های مثبت  به حالت خالی اشاره دارد. در شکل، لید و نقطه کوانتمی توسط یه سد پتانسیل از هم جدا شده اند، به شکلی که خیلی ضعیف به هم جفت شده اند. بنابراین، ما هنوز می توانیم نقطه کوانتومی را با تقریب خوبی به عنوان سیستم ایزوله در نظر بگیریم.

حال آماده ایم که به سراغ بخش اصلی دوره یعنی «توپولوژی» برویم.

توپولوژی و سیستم های کوانتومی گاف دار

توپولوژی این مسئله را بررسی می کند که آیا اجسام به صورت پیوسته می توانند به هم تبدیل شوند یا خیر. در فیزیک ماده چگال ما این سوال را می توانیم بپرسیم که آیا هامیلتونی دو سیستم کوانتومی می تواند به صورت پیوسته تبدیل شوند یا که خیر. اگر تبدیل شود، آنگاه می توانیم بگویم که دو سیستم «از لحاظ توپولوژیکی یکسان» هستند.

اگر ما تمام هامیلتونی ها را بدون هیچ گونه قیدی در نظر بگیریم، هر هامیلتونی می تواند به صورت پیوسته به هامیلتونی دیگر تبدیل شود و تمام سیستم های کوانتومی از لحاظ توپولوژیک یکسان خواهند بود. اگر ما خودمان را به سیستم هایی با یک گاف انرژی محدود کنیم این قضیه به شکل چشم گیری تغیر خواهد کرد. این بدین معنی است که مقداری محدودی انرژی نیاز است تا سیستم را به حالت پایه بالاتر برانگیخته کرد. اگر یک گاف انرژی وجود داشته باشد، آنگاه هامیلتونی سیستم در بازه محدودی اطراف انرژی صفر ویژه مقداری نخواهد داشت.

ما می توانیم معیار ذیل را در نظر بگیریم: می گویم که دو سیستم کوانتومی گاف دار زمانی از لحاظ توپولوژیک یکسان هستند که هامیلتونی آنها بتواند به طور پیوسته به هم تبدیل شود به شکلی که در حین این تبدیل هیچ گاه گاف انرژی بسته نشود.

در ادامه خواهیم دید که ما اغلب به برخی موارد خاص علاقه مندیم: مثلا، اینکه بعضی تقارن ها حین یک تبدیل پیوسته بقا دارند یا خیر.

با این حال، در این لحظه اجازه دهید ببینیم این ایده در عمل روی مورد نقطه کوانتومی به چه شکل اعمال می شود. فرض کنیم که نقطه کوانتومی ما در ابتدا توسط ماتریس تصادفی H مانند زیر توصیف می شود:

برای سادگی، ماتریس H را حقیقی در نظر گرفته ایم. حال اجازه دهید این هامیلتونی را به هامیلتونی ‘H که آن هم حقیقی است به طریقی تبدیل کنیم. می توانیم تصور کنیم این تبدیل تغییراتی را توصیف می کند که  برای نقطه کوانتومی اتاق می افتد، برای زمانی که یک پارامتر خارجی، مانند ولتاژ گیت، تغییر می کند. ما می توانیم این تبدیل را به شکل زیر پارامتری کنیم:

پس وقتی هامیلتونی اولیه بدست می آید و وقتی هامیلتونی نهایی بدست می آید. اجازه دهید ببینیم سطوح انرژی به عنوان تابعی از به چه شکل تغییر می کنند (اینجا برای اینکه طیف انرژی جالب تر دیده شود ما از ماتریس بزرگی استفاده کرده ایم)

ممکن است از نمودار متوجه شده باشد که وقتی که تغییر می کند ممکن است سطوح انرژی سطح انرژی صفر را قطع کنند. وقتی این اتفاق می افتد، ما شرطی که قرار بود گاف انرژی بسته نشود را نقض می کنیم. در نظر داشته باشید که این الزاما به این معنی نیست که هیچ تبدیل پیوسته ای بین H و ‘H وجود ندارد که گاف انرژی بسته نشود. این فقط به طور ساده به این معنی است که در این مسیر گاف انرژی بسته می شود.

حال H و ‘H از لحاظ توپولوژیک هم ارز هستند یا نه؟ به این وضعیت توجه کنید:

میبینیم که یک سطح انرژی صفر را قطع کرده است (دقیقا دوبار)، اما واضح است که که اگر ما کمی تراز ها را جا به جا کنیم مسیری پیدا می شود که در آن دو هامیلتونی به طور پیوسته به هم تبدیل می شوند. بنابراین باید دنبال راه بهتری باشیم برای اینکه تشخیص دهیم دو هامیلتونی به طور پیوسته به هم تبدیل می شوند یا خیر.