برای اینکه بفهمیم مسیری وجود دارد که H به ‘H متصل شود بدون اینکه گاف بسته شود، می توانیم تعداد سطوح انرژی پایین تر از صفر را بشماریم، یعنی همان سطوح انرژی پر شده. در واقع، برای هامیلتونی های گاف دار هیچ سطح انرژی نمی تواند از صفر عبور کند، در غیر این صورت می توانند آزادانه حرکت کنند. بنابراین بین دو هامیلتونی با تعداد سطوح انرژی زیر صفر برابر، دقیقا یک تبدیل پیوسته وجود دارد.

از آنجایی که این عدد تحت یک تبدیل پیوسته مابین هامیلتونی های گاف دار تغییر نمی کند، آن را ناوردای توپولوژیک Q می نامیم.

در ادامه، نمودار ترازهای انرژی در امتداد مسیری که هامیلتونی H را به ‘H وصل می کنیم به همراه ناوردای توپولوژیکمان، یعنی تعداد تراز های انرژی پر، رسم می کنیم. می توان دید که این عدد بین 3 ،4 و 5 تغییر می کند. بنابراین می توان بگویم که H و ‘H از لحاظ توپولوژیک هم ارز نیستند.

این نمودار نشان می دهد که در واقع نیاز نیست ما تعداد تراز های انرژی پر شده برای دو هامیلتونی H و ‘H حساب کنیم، بلکه کافی است که عبور از صفر انرژی را در نظر بگیریم. مادامی که یک تراز انرژی از صفر انرژی عبور می کند، تعداد تراز های انرژی زیر صفر انرژی تغییر می کند. بنابراین چنین عبوری ناوردای توپولوژیک را تغییر می دهد. به این دلیل آنرا گذار فاز توپولوژیک نام می نهیم.

اگر دو هامیلتونی، دارای یک ناوردای توپولوژیک متفاوت باشند، می بایست توسط یک چنین گذاری از هم جدا شوند. به بیان دیگر، ممکن نیست بدون بسته شدن گاف از یکی به دیگیری رسید.

به عبارت دیگر، اگر تعداد برابری عبور پایین به بالای صفر انرژی و برعکسش رخ دهد، تعداد تراز های پایین صفر انرژی تغییر نمی کند. بنابراین ناوردای توپولوژیک میبایست برای هامیلتونی اولیه و نهایی یکسان باشد. در این مورد، می بایست که تبدیل پیوسته بین حالت های اولیه و نهایی هامیلتونی وجود داشته باشد بدون اینکه گف بسته شود.

اگر ما بتوانیم یک ناوردای توپولوژیک شناسایی کنیم، می توانیم تمام هامیلتونی های کوانتومی را با توجه به مقدار این ناوردا در کلاس های مجزا قرار دهیم. از این طریق کلاس هایی از هامیلتونی ها می سازیم که از لحاظ توپولوژیک هم ارز اند و می توانیم تمام فاز های توپولوژیک که این هامیلتونی ها می توانند داشته باشند رصد کنیم.

نقش قوانین پایستگی

حال اجازه دهید موردی را در نظر بگیریم که نقطه کوانتومی شامل یک قید تقارنی باشد. این بدین معنی است که یک ماتریس یونیتاری وجود دارد، برای مثال  که در آن ماتریس سوم پائولی است، به شکلی که هامیلتونی با این ماتریس جابه جا می شود:

این بدان معنی است که سیستم حاوی یک قید تقارنی است و این هامیلتونی می تواند به شکل بلوکی قطری باشد.

حال می توانیم به طیف انرژی و ناوردای توپولوژیک هر زیر بلوک به صورت جداگانه نگاه کنیم.

و آنها را با هم یکی کنیم تا طیف و ناوردای توپولوژیک کل سیستم بدست آید:

همانطور که مشاهده می کنید، تقارن های یونیتاری به صورت کسل کننده ای نقش بازی می کنند. طبق معمول، آنها اجازه می دهند که بعد مسئله کاهش یابد و نه بیشتر. اگرچه ممکن است تقارن های دگیری وجود داشته باشند که بتوانند تأثیر بیشتری روی توپولوژی داشته باشند. یک مثال مهم تقارن وارونی زمان است که در آینده بررسی خواهیم کرد.