در بخش قبلی دیدیم که تقارن وارونی زمان می تواند بعضی مقادیر را برای ناوردای توپولوژیک ممنوع کند. حال مورد دیگری را بررسی می کنیم که در آن تقارن خواص توپولوژیک را به طور چشمگیری تغییر می دهد.

یک سیستم در نظر بگیرید که بتوان تمام درجات آزادی آن را به دو گروه ( گروه A و گروه B) تقسیم کرد به طوری که هامیلتونی فقط بین این گروه ها دارای المان های غیر صفر باشد، و نه درون هر گروه.  این وضعیت به طور طبیعی وقتی اتفاق می افتد که شبکه دارای دو زیر شبکه باشد، همانطور که احتمالا در مورد شبکه کربنی گرافن با آن مواجه شده باشید. بنابراین تصور کنید که سیستم نقطه کوانتومی ما در اینجا یک نقطه گرافنی است:

پی آمد تقارن زیر شبکه این است که هامیلتونی نقطه گرافنی به شکل زیر خواهد بود:

می توانیم دوباره یک ماتریس تصادفی با تقارن زیر شبکه ایجاد کنیم:

اگر یک ماتریس قطری معرفی کنیم به شکلی که 1+ بیانگر جایگاه های روی زیر شبکه A و 1- برای جایگاه های روی زیر شبکه B باشد، می توانیم تقارن زیر شبکه هامیلتونی را به شکل زیر بنویسیم:

این به این معنی است که اگر یک ویژه بردا از هامیلتونی با انرژی باشد، آنگاه یک ویژه بردار با انرژی خواهد بود. یک طیف متقارن پی آمد تقارن زیر شبکه است.

خوب این چه تأثیری روی دسته بندی توپولوژیک دارد؟ واضح است که تعداد حالت های با انرژی منفی همان تعداد حالت های با انرژی مثبت است و این بدین معنی است که ما نمی توانیم انتظار داشته باشیم یک تک تراز از صفر انرژی عبور کند.

اجازه دهید که ببینیم که در عمل این قضیه با تبدیل یک هامیلتونی تصادفی با تقارن زیر شبکه به یک هامیلتونی دیگر صدق می کند یا نه.

در واقع، می توانیم تمام هامیلتونی های با تقارن زیر شبکه را بدون بسته شدن گاف به یک دیگر تبدیل کنیم. این بدین معنی است که یک تقارن اضافی ممکن است دسته بندی توپولوژیک را بدیهی کند.