ما خصوصیات عمومی درهمتنیدگی کوانتومی بس ذره ای در حالت پایه یک ماده دوبعدی منظم توپولوژیکی با یک گاف جرمی فرمول بندی کرده ایم. ما یک دیسک در صفحه با مرز هموار به طول L، که در مقایسه با طول همبستگی بزرگ است در نظر گرفتیم.
در حالت پایه، با دنبال کردن تمام درجات آزادی در خارج دیسک، ما یک عملگر چگالی حاشیه ای برای درجات آزادی داخلی بدست آوردیم. آنتروپی فون نیومن ، یک مقیاس از متغیر های داخلی و خارجی درهمتنیدگی، به فرم است، که در آن سه نقطه جمله هایی را نشان می دهد که در حد از بین می روند. ما نشان داده ایم که یک ثابت فراگیر است که یک ویژگی جهانی از درهمتنیدگی در حالت پایه را مشخص می کند. با استفاده از روش های نظریه میدان کوانتومی توپولوژیکی، ما یک فرمول برای برحسب ویژگی های بخش های ابرانتخابی از ماده بدست آوردیم.
Topological Entanglement Entropy
Alexei Kitaev and John Preskill
Phys. Rev. Lett. 96, 110404 – Published 24 March 2006
We formulate a universal characterization of the many-particle quantum entanglement in the ground state of a topologically ordered two-dimensional medium with a mass gap. We consider a disk in the plane, with a smooth boundary of length L, large compared to the correlation length. In the ground state, by tracing out all degrees of freedom in the exterior of the disk, we obtain a marginal density operator \rho for the degrees of freedom in the interior. The von Neumann entropy of this density operator, a measure of the entanglement of the interior and exterior variables, has the form , where the ellipsis represents terms that vanish in the limit . The coefficient , arising from short wavelength modes localized near the boundary, is nonuniversal and ultraviolet divergent, but is a universal additive constant characterizing a global feature of the entanglement in the ground state. Using topological quantum field theory methods, we derive a formula for in terms of properties of the superselection sectors of the medium.
در یک سیستم بس ذره ای کوانتومی در دمای صفر، یک گذار فاز کوانتومی ممکن است به عنوان تغییر یک پارامتر در هامیلتونی سیستم رخ دهد. دو فاز در هر طرف نقطه بحرانی کوانتومی ممکن است نشان دهنده نظم های کوانتومی متفاوت باشند؛ همبستگی کوانتومی میان درجات آزادی میکروسکوپی از لحاظ کیفی دارای ویژگی های متفاوت در دو فاز است. با این وجود در بعضی موارد، فاز ها را نمی توان بوسیله ی هیچ پارامتر نظم موضعی از هم تفکیک کرد.
برای مثال، در فضای دو بعدی یک سیستم با گاف جرمی می تواند نظم توپولوژیک از خود نشان دهد [1]. درهمتنیدگی کوانتومی در حالت پایه یک ماده منظم توپولوژیک دارای خواص جهانی با پیامد های قابل توجه است. یکی اینکه، برانگیختگی های شبه ذره ای سیستم (آنیون ها) نوع عجیب غریبی از آمار ذرات تمییز ناپذیر را از خود نشان می دهند. علاوه بر این، در حد حجم بی نهایت تبهگنی حالت پایه به گونه (تعداد سوراخ ها) مربوط سطح بسته ای که سیستم روی آن مستقر است بستگی دارد.
در حالی که واضح است این خواص غیر عادی به این دلیل ظاهر می شوند که حالت پایه به شدت درهمتنیده است، تاکنون هیچ ارتباط محکمی بین نظم توپولوژیک و هیچ مقیاس کمی از درهمتنیدگی گزارش نشده است. در این مقاله ما بوسیله ی ارتباط فاز توپولوژیکی به آنتروپی قون نویمن، یک ارتباط فراهم می کنیم که درهمتنیدگی یک حالت خالص دوتایی را اندازه گیری می کند.
به طور خاص، ما یک دیسک در صفحه در نظر میگیریم، که طول مرز هموار آن L است که در مقایسه با طول همبستگی بزرگ است. در حالت پایه، با ردیابی تمام درجات آزادی در خارج دیسک، ما یک عملگر چگالی حاشیه ای ρ برای درجات آزادی داخلی بدست آوردیم. آنتروپی فون نویمن مربوط به این عملگر چگالی، یک سنجه برای درهمتنیدگی متغیر های داخلی و خارجی، به شکل زیر است:
(1)
که در آن سه نقطه جمله هایی را نشان می دهد که در حد ∞→L از بین می روند. ضریب α، که از مد های موضعی طول موج کوتاه نزدیک ناشی می شود، جهان شمول نیست و در طول موج فرابنفش واگرایی دارد [2]. ولی (که نامنفی است) یک ثابت افزودنی جهان شمول است که یک ویژگی جهانی از درهمتنیدگی در حالت پایه را مشخص می کند. ما γ- را آنتروپی درهمتنیدگی توپولوژیکی می نامیم.
این کمیت جهان شمول خواص توپولوژیک درهمتنیدگی را منعکس می کند که در طول بلند اختیاری پابرجا میمانند و بنابراین میتوان با استفاده از نظریه میدان موثر آنها را مطالعه نمود که رفتار دور-فروسرخ ماده را رصد می کند، یعنی یک نظریه میدان کوانتومی توپولوژیکی (TQFT) که برهم کنش های آهارونوف-بوم بلند برد مربوط به برانگیختگی های شبه ذره ای سنگین ماده را توصیف می کند. ما بدست آوردیم:
(2)
که بعد کوانتومی کلی ماده است که با رابطه زیر داده می شود:
(3)
در اینجا جمع رو همه بخش های ابرانتخابی ماده است و بعد کوانتومی یک ذره با بار a است.
هر آنیون آبلی دارای بعد کوانتومی d=1 است؛ بنابراین برای یک کدل از آنیون های آبلی، به سادگی تعداد بخش های ابرانتخابی است. بنابراین برای یک حالت لافلین [3] درمیابیم که در یک سیستم هال کوانتومی کسری با عامل پرشدهگی ν=1/q که q یک عدد صحیح فرد است، داریم . برای کد توریک [4]، که دارای چهار بخش است. آنتروپی توپولوژیکی برابر γ=log2 است، که در حال حاضر در اینجا [5] ذکر شده است.
با این حال آنیون های غیر آبلی دارای بعد کوانتومی بزرگتر از یک هستند. مفهوم d_a (که نیاز نیست یک عدد چرخشی باشد) این است که بعد N_aaa…a مربوط به فضای برداری ادغامی به صورتی توسط تمام راه های قابل تشخیص پوشانده شود که در آن n آنیون از نوع a میتوانند به هم بچسبند تا یک بار کل بدیهی مانند n امین توان d_a به صورت مجانبی رشد کند. برای مثال، در نظریه چرن-سیمون SU(2)_k، ما داریم:
(4)
برای توجیه محاسبه آنتروپی از نظریه میدان مؤثر، ما نیاز داریم که مرز ها هیچ ویژگی “شارپ” ی نداشته باشند چون ممکن است در فیزیک مسافت کوتاه حساس باشد. در عین حال برای یک مرز رسم شده روی یک شبکه، گوشه های شارپ اجتناب ناپذیرند. علاوه براین، یک ابهام ذاتی در جدا کردن جملاتی که مرتبه آنها از مرتبه طول L است از جملات ثابت وجود دارد. ما می توانیم بوسیله راه حل پیش رو این دشواری ها را دور بزنیم. ما صفحه را به چهار قسمت تقسیلم می کنیم، که تماما در مقایسه با طول همبستگی بزرگ هستند، و با A,B,C,D همانطوری که شکل نشان داده شده است برچسب گذاری می کنیم.
فرض کنید S_{A} نشان دهنده آنتروپی فون نویمن عملگر چگالی ρ_{A} باشد که با ردیابی دحرت آزادی خارج منطقه A از حالت پایه بدست می آید، فرض کنید S_AB نشان دهنده آنتروپی فون نویمن علمگر چگالی ρ_AB باشد که از ردیابی درجات آزادی خارج ناحیه AB=AUB بدست می آید و … . آنگاه ما آنتروپی توپولوژیک S_topo را به صورت زیر تعریف می کنیم:
(5)
این ترکیب خطی از آنتروپی ها به صورت راهبردی انتخاب شده تا تضمین کند که بستگی مرز های ناحیه به طول از بین می رود. برای مثال، جمله متناسب با طول مقطع دوتایی A و B در S_AوS_ABC با علامت + ظاهر می شود و در S_AB-و S_AC_-با علامت منفی. به صورت مشابه، منطقه دوتایی A و B که در S_A و S_B با علامت + ظاهر می شود در S_BC-و S_AC- با علامت منفی ظاهر می شود. (اینکه جملات واگرای فرابنفش در یک تکریب خطی مناسب با هم ساده می شوند نیز در اینجا [6] مورد استفاده قرار گرفته شد و در این مقاله به سیستم های (1+1) بعدی اعمال شده است.)
این رفتار را در هر یک جملات رابطه 1 در نظر بگیرید، آنگاه بدست می آوریم: S_topo=-γ . اما مزیت تعریف S_topo با استفاده از یک تقسیم به چهار منطقه این است که ما میتوانیم به نحوی قانع شویم که S_topo یک ناوردای توپولوژیک (فقط بسگی به توپولوژی اینکه چطور مناطق به هم متصل شده اند و نه این که چه هندسه ای دارند) است و یک کمیت جهانی (بدون تغییر تحت یک تبدیل هموار هامیلتونی مگر اینکه با یک نقطه بحرانی کوانتومی مواجه باشیم).
برای دیدن اینکه S_topo یک ناوردای توپولوژیک است، ابتدا تغییر شکل مرز های بین دو ناحیه، دور از هر نقطه سه گانه یعنی جایی که سه منطقه همدیگر را ملاقات می کنند را در نظر میگیریم. تغییر شکل مرز ها بین C و D روی مناطق A و B و AB تأثیری ندارد، بنابراین، اگر تمام مناطق به اندازه کافی در مقایسه با طول همبستگی بزرگ باشند، ما انتظار داریم که در تغییر در S_{A}، S_{B} و S_{AB} نسبت به کل ناچیز است. بنابراین تغییر در S_topo را می توان به صورت زیر نشان داد:
(6)
ما انتظار داریم، هرچند که، اگر تمام مناطق در مقایسه با طول همبستگی بزرگ باشند، آنگاه الحاق منطقه A به BC می بایست یک اثر ناچیز روی تغییر در آنتروپی داشته باشد، چون A از جایی که تغییر شکل رخ می دهد دور است، به طور مشابه، الحاق A به C می بایست هیچ تأثیری بر تغییر آنتروپی نداشته باشد. بنابراین دو جمله سمت راست رابطه 6 ناپدید می شوند و S_topo بدون تغییر باقی می ماند. همین استدلال را می توان به تغییر شکل هر مرز دیگری بین دو ناحیه به کار برد.
حال تغییر شکل مکان نقطه سه گانه، مانند نقطه ای که مناطق B و C و D همدیگر را ملاقات می کنند را در نظر بگیرید
دوباره ما ممکن است بحث کنیم که S_A با تغییر شکل بدون تغییر می ماند. به خاطر می آوریم که برای یک حالت خالص دو تایی (مانند حالت پایه)، عملگر های چگالی حاشیه ای برای هر دو زیر سامانه دارای مقادیر ویژه غیر صفر یکسان است و بناتبراین آنتروپی نیز یکسان است؛ بنابراین S_{ABC}=S_{D} و S_{BC}=S{AD}. میبینیم که تغییر در S_topo را می توان به صورت زیر نشان داد:
(7)
تمام سه جمله سمت راست معادله 7 از بین می روند زیرا الحاق ناحیه A هیچ اثری بر تغییر در آنتروپی ندارد. همان استدلال برای وقتی که هر یک از نقاط سه گانه دیگر می توان به کار برد؛ در نظر داریم که S_topo با هر تغییر شکل هندسی نواحی که توپولوژی آنها را حفظ می کند بدون تغییر می ماند.، تا زمانی که همه نواحی در مقایسه با طول همبستگی بزرگ باقی بماند.
حال، چه اتفاقی برای S_topo میافتد اگر هامیلتونی سیستم به صورت هموار تغییر شکل پیدا کند. ما فرض می کنیم که هامیلتونی یک جمع از جملات موضعی است و طول همبستگی در طی تغییر شکل ثابت باقی میماند (و در حقیقت طول همبستگی در مقایسه با اندازه نواحی A، B،C،D کوچک باقی میماند). اگر هامیلتونی به صورت موضعی در یک منطقه دور از هر مرزی تغییر کند، انگاه این تغییر تأثیر ناچیزی بر روی حالت پایه در مجاورت مرز دارد و بنابراین اثری روی S_topo ندارد. اگر هامیلتونی نزدیک مرزها به صورت موضعی تغییر کند، ما می توانیم از مزایای ناوردای توپولوژیک S_topo استفاده کنیم تا اولا مرز ها را جابه جا کنیم، سپس هامیلتونی را تغییر دهیم و در نهایت مرز ها را مکان اصلی بازگردانیم. بنابراین ما میبینیم که S_topo یک کمیت جهان شمول مشخصه از یک نوع خاص از نظم توپولوژیک است، که اگر هامیلتونی تغییر کند و با نقطه بحرانی کوانتومی مواجه نشود ناوردا باقی می ماند.
برای تسهیل در محاسبه مناسب است که تصور کنیم محیط مسطحی که ما میخواهیم مطالعه کنیم را با مزدوج بازگشت زمان آن یکی کنیم. ما محیط و مزدوج آن را در بعد بی نهایت یکی می کنیم، و سپس یک “کرم چاله” به آن متصل می کنیم که دو صفحه در مکان های چهار تقاطع سه گانه به هم وصل می کند (همانطوری که در شکل نشان داده شده است). سطح بسته حاصل دارای توپولوژی کره با چهار دسته است. اگر یک محیط تخت ایزوله سوراغ باشد، آنگاه مد های کایرال بدون جرم از طریق لبه های سوراخ منتشر می شوند، اما حالت های لبه ای محیط و مزدوج آنها دارای کایرالیته متفاوت خواهند بود، بنابراین وقتی که دو سطح جفت می شوند حالت های لبه ای جرم دار می شوند، بنابراین، کرم چاله ها می توانند بدون از بین بردن گاف جرمی به صورت آدیاباتیک ایجاد شوند. طی این فرآیند آدیاباتیک هیچ آنیونی تولید نمی شود، به طوری که دهانه هر کرم چالی بار آنیونی بدیهی حمل می کند.
مرزهایی که مناطق واقع در صفحه و جفتش را جدا می کند را می توان بوسیله ی کرم چاله ها به هم متصل کرد (شکل بالا) سپس هر منطقه از سطح دوبرابر شده توپولوژی یک کره با سه سوراخ را دارد و هر پیوند از دو منطقه مجاور تبدیل به یک کره با چهار سوراخ می شود. آنتروپی درهم تنیدگی توپولوژیک ماده و مزدوج آن هر دو برابر هستند، به طوری که آنتروپی درهم تنیدگی توپولوژیک سطح دوبرابر شده دو برابر باشد. آنتروپی یک منطقه فقط به توپولوژی آن بستگی دارد بنابراین برای یک سطح دوبرابر شده داریم:
(8)
که اشاره به آنتروپی کره با سو سوراخ و اشاره به آنتروپی کره با چهار سوراخ دارد.
کمیت های و را می توان با استفاده از نظریه میدان مؤثر مناسب، یعنی یک TFQT، محاسبه کرد [7]. ما از این خاصیت استفاده می کنیم که هیچ باری توسط یک آنیون که حول وهوش دهانه یک کرم چاله می چرخد شناسایی نمی شود. یک دایره که یک سوراخ واقع در دوبرابر شده منطقه A در بر میگیرد مکمل یک حلقه است که حول و هوش یک کرم چاله می چرخد؛ که به این منجر می شود که سوراخ بار a را با احتمال زیر حمل کند:
(9)
که در آن ماتریس-S توپولوژیک TQFT است و 1 اشاره به بار بدیهی دارد. برای پیدا کردن توزیع احتمالی منفصل حاکم بر بار های a، b و c روی سوراخ کره با سه سوراخ، ما می بایست برای محاسبه احتمالا از روش های TQFT استاندارد استفاده کنیم که وقتی بار های a و b ترکیب می شوند بار کل آنها می شود. نتیجتا:
(10)
که در آن بعد فضای برداری ترکیبی است که توسط تمام راه های قابل تشخیص حاصل می شود که در آن بارهای a، b و c می توانند ترکیب شوند و بار کل بدیعی حاصل شود، نتیجه می شود که:
(11)
با محاسبه آنتروی در پایه ای که در آن هر سوراخ یک بار معین دارد، و جمع روی تمام حالت های ترکیبی قابل تشخیص که برای مقادیر خاصی از بار رخ می دهد، بدست می آوریم:
(12)
برای کره ای با چهار سوراخ، یک محاسبه مشابه منجر می شود به:
(13)
و
(14)
با قرار دادن در رابطه 8 بدست می آوریم:
(15)
رابطه ی 15 نتیجه اصلی ماست. توجه شود که اگر کا از رابطه 1 برای محاسبه آنتروپی هر ناحیه استفاده کنیم، چهار بار در رابطه مربوط به یک بار با علامت منفی و چهار با علامت مثبت ظاهر می شود. ما همچنین مشاهده کردیم که در واقع به توپولوژی مناطق A،B،C بستگی دارد. برای مثال، شکل زیر را در نظر بگیرید که در آن B و AC هر دو مولفه متصل به هم دارند و ABC به سادگی به هم متصل نشده اند. از آنجا که مناطق B و AC و ABC هر کدام دارای مرزهایی با دو مولفه هستند، در این حالت شش بار با علامت منفی و چهار بار با علامت مثبت ظاهر می شود بنابراین خواهد بود.
با استفاده از یک روش متفاوت، ما می توانیم یک فرمول ساده اما با ابتکار بیشتر برای بدست آوریم. ابتدا ما یک علمگر چگالی لبه ای را به صورت تعریف می کنیم. این فقط یک تعریف از H است و هیچ توضیحی در خودش ندارد، از این گذشته پارامتر اختیاری است، بنابراین ما آزاد هستیم که آنرا در مقایسه با گاف انرژی بالک ماده دوبعدی کوچک انتخاب کنیم. حال یک فرض طبیعی ولی غیر بدیهی می کنیم: که H می تواند به عنوان هامیلتونی یک نظریه میدان ساختاری (CFT) با بعد(1+1)در نظر گرفته شود. این CFT خواص کوتاه برد محیط بالک را نادیده میگیرد و نتیجتا برای جمله در آنتروپی متناسب با L درست محاسبه نمی شود، ولی می بایست یک جمله ثبت عمومی صریح تولید کند.
برای محاسبه آنتروپی برای یک دیسک که یک آنیون با بار a (دور از مرزها) را شامل می شود، ما تابع پارش را برای بلوک ساختاری مربوط به CFT بدست آوردیم. می تواند به عنوان یک انتگرال مسیر روی یک چنبره با طول در جهت زمان اقلیدسی و طول L در جهت فضایی در نظر گرفته شود البته در حضور یک حلقه ویلسونی حامل بار a که درون چنبره در جهت زمان-گونه می پیچد. بعد از یک تبدیل مدولار، ما بدست می آوریم:
(16)
که در آن تابع پارش بلوک b روی یک چنبره به طول L در جهت زمان اثلیدسی و طول در جهت فضایی است و یک S-ماتریس مدولار از CFT است، که S-ماتریس توپولوژیک مدل آنیونی را تطبیق می دهد. در حد ، جمع تحت سطله ی بلوک بدیهی قرار میگیرد و ما بدست می آوریم:
(17)
که در آن و بارهای مرکزی هولومورفیک و آنتی هولومرفیک CFT هستند و یک عنصر S-ماتریس توپولوژیک است. با اعمال همانی ترمودینامیکی (که در آن انرژی آزاد است) بدست می آوریم:
(18)
بنابراین وقتی که a بار بدیهی باشد و ما نتایج روابط 1 و 2 را بازمیابیم. با اینکه که این اشتقاق به استحکام اقتباسی نیست که منجر به رابطه 15 شد، اما خیلی شفاف تر است و می توان به آسانی آن را به موردی که دیسک شامل یک آنیون باشد عمومیت بخشید.
ما یک ارتباط جذاب بین آنتروپی درهم تنیده توپولوژیک و نظم توپولوژیک در دو بعد بدست آوردیم. ما تأکید می کنیم که یک رابطه نزدیک ریاضی بین آنتروپی درهم تنیده توپولوژیک و آنتروپی مرزی (1+1) بعدی که در مرجع [8] بحث شده، وجود دارد و ما انتظار داریم بینش های بیشتری را بتوان از مطالعه بعد-بالای کسب کرد. همچنین ما امیدواریم نتایجمان بتواند راهنمایی برای وظیفه مهم ساخت مدل های صریح برای درک نظم توپولوژیک گردد.
نتایجی شبیه نتایج بدست آمده ما به طور مستقل توسط لوین و ون [9] بدست آمده است.
مراجع
[1] X.-G. Wen and Q. Niu, Phys. Rev. B 41, 9377–9396 (1990).
[2] L. Bombelli, R. K. Koul, J. Lee, and R. D. Sorkin, Phys. Rev. D 34, 373–383 (1986); M. Srednicki, Phys. Rev. Lett. 71, 666–669 (1993).
[3] R. B. Laughlin, Phys. Rev. Lett. 50, 1395–1398 (1983).
[4] A. Kitaev, Ann. Phys. 303, 2–30 (2003).
[5] A. Hamma, R. Ionicioiu, and P. Zanardi, Phys. Rev. A 71, 022315 (2005).
[6] H. Casini and M. Huerta, Phys. Lett. B 600, 142–150 (2004).
[7] E. Witten, Comm. Math. Phys. 121, 351–399 (1989).
[8] I. Affleck and A. Ludwig, Phys. Rev. Lett. 67, 161–164 (1991); J. Cardy, Nucl. Phys. B 328, 581–596 (1989).
[9] M. Levin and X.-G. Wen, arXiv:cond-mat/0510613 (2005).
There are no comments yet
Or use one of these social networks